Pochodna tunkcji lew: Dana jest funkcja określona równaniem f(x) = −x² + 9. W punkcie P o dodatniej odciętej poprowadzono styczną do wykresu tej funkcji. Oblicz odciętą punktu P tak, aby pole trójkąta ograniczonego tą styczną oraz dodatnimi półosiami współrzędnych było najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Bardzo proszę o krok po kroku z wyjaśnieniami.

Tadeusz: y=−x²+9 Styczna do niej w punkcie P=(x_p, −x_p²+9) ma współczynnik kierunkowy −2x_p Napiszmy jej równanie y+x_p²−9=−2x_p(x−x_p) ⇒ y=−2x_p*x+x_p²+9 Odcinki "odłożone" na osiach to odpowiednio:

	xp2+9
− na 0x
	2xp

− na 0y x_p²+9

	(xp2+9)2
Zatem pole trójkąta "odciętego" styczną to: S=
	4xp

Szukamy S_min

	16xp2(xp2+9)−4(xp2+9)2
S'(xp)=
	16xp2

S'(x_p)=0 ⇒ (x_p²+9)(16x_p²−4x_p²−36)=0 ⇒ 12x_p²−36=0 (x_p−√3)(x_p+√3)=0 S_min dla x_p=√3 S_min=12√3

Mila: P(x₀,y₀)∊wykresu f(x) i x₀>0 f(x)=−x²+9 1) f'(x)=−2x f'(x₀)=−2x₀ 2) styczna y−f(x₀)=f'(x₀)*(x−x₀)⇔ y−(−x₀²+9)=−2x₀*(x−x₀) y=−2x₀*x+2x₀²−x₀²+9 y=−2x₀*x+x₀²+9 3) punkty przecięcia stycznej z osiami