nierówność Jacej: Niech a, b, c boki trójkata oraz a+b+c=1, pokaż ze a²+b²+c²+4abс <1/2

Adamm: f(a, b, c)=a²+b²+c²+4abc 0≤a≤b≤c, a+b+c=1 możemy powiedzieć że istnieje minimum i maksimum, obszary są ograniczone 2a+4bc=λ, 2b+4ac=λ, 2c+4ab=λ 2a+4bc=2b+4ac a−b=2*c(a−b) a=b lub c=1/2 itd. mamy takie możliwości a=1/3, b=1/3, c=1/3 a=b=1/2, c=0 f(1/3, 1/3, 1/3)=13/27, f(1/2, 1/2, 0)=1/2 stąd mamy że 13/27≤a²+b²+c²+4abc≤1/2, a że a, b, c są dodatnie to 13/27≤a²+b²+c²+4abc<1/2

jc: a+b+c=1 1= (a+b+c)² = a²b²+c²+2(ab+bc+ca) 2(ab+bc+ca)=1−a²−b²−c² a,b,c są długościami boków trójkąta a+b>c, b+c>a, c+a>b inaczej a+b+c > 2c czyli 1−2c > 0 itp. 0 < (1−2a)(1−2b)(1−2c) = 1−2(a+b+c)+4(ab+bc+ca)−8abc = 1−2+2−2(a²+b²+c²)−8abc = 1−2(a²+b²+c² + 4abc) stąd a²+b²+c² + 4abc < 1/2

Adam: jc, a możesz mi powiedzieć czemu mnożnikami Lagrange'a nie wyszło? z góry dziękuję

jc: Metoda podpowiedziała graniczne punkty (1/2, 1/2, 0) itp. Ale dalej wypadało by pokazać, że faktycznie zachodzi odpowiednia nierówność i wykluczyć równość.

Adam: tak, ale czemu np. (0, 0, 1) nie pojawiło się jako jedno z rozwiązań? metoda jest mało skuteczna czy to ja coś pomyliłem?

jc: a=b=0 c=1, 0=λ, 2=λ, to nie jest rozwiązanie. Nawet, gdyby to było rozwiązanie, to i tak byśmy go nie rozpatrywali. 0,0,1 nie spełniają nierówności trójkąta!

Adam: ale spełnia warunek, i jest może nawet maksimum funkcji f mimo to, metoda go nie wyznaczyła myślałem że jeśli minimum oraz maksimum istnieje to ta metoda powinna je wyznaczyć po prostu jestem zdezorientowany

jc: Funkcja jest nieograniczona z dołu. Może to nawet jest wartość największa na obszarze x,y,z ≥ 0, ale pojawia się na brzegu.

Adamm: właśnie zastanawiałem się czy wartości brzegowe są wyznaczane przez tą metodę widocznie trzeba je sprawdzić samemu dziękuję za rozjaśnienie, teraz już wiem o co chodziło