Dowód Zdzisław: Udowodnij, że ∀_n∊ℕ , liczba (n²−n)(n⁹+1) jest podzielna przez 6. sprawdzam dla n=2: (2²−2)(2⁹+1)=2*(513)=2*3k, k∊ℤ. Zgadza się... Chciałem indukcją ale te n⁹ mnie zniesmaczyło... totalnie nie wiem jak sie za to zabrać Jakieś wskazówki?

Adamm: n*(n−1) to 2 kolejne liczby, zatem jest podzielne przez 2 dla n=3k mamy liczbę podzielną przez 3 dla n=3k+1 mamy liczbę podzielną przez 3 dla n=3k+2 mamy (3k+2)⁹+1=((3k+2)³+1)((3k+2)⁶−(3k+2)³+1)= =3*(k+1)((3k+2)²−(3k+2)+1)((3k+2)⁶−(3k+2)³+1) co jest podzielne przez 3 zatem cała liczba jest podzielna przez 3 oraz 2 ⇒ przez 6

Adamm: z twierdzenia Fermata n²≡1 mod 3 (n²−n)(n⁹+1)≡(n−1)*n*(n+1)≡0 mod 3 (jako 3 kolejne liczby naturalne tak to można było zrobić jak znasz kongruencje

Zdzisław: Racja, dzięki Adamm za pomoc, już wszystko rozumiem

Adamm: przepraszam, tylko gdy 3 nie dzieli n dla dowolnego n mamy n³≡n mod 3 (n²−n)(n⁹+1)≡(n−1)*n*(n+1)≡0 mod 3 wychodzi na to samo

Adamm: właściwie to od razu można było użyć skróconego mnożenia (n²−n)*(n⁹+1)=n*(n−1)*(n+1)(n²−n+1)(n⁶−n³+1) n*(n−1)*(n+1) to 3 kolejne liczby naturalne ⇒ 6|(n²−n)*(n⁹+1)

Zdzisław: Zawsze zastanawia mnie to jak wpaść na taki rozkład: "(n²−n)*(n⁹+1)=n*(n−1)*(n+1)(n²−n+1)(n⁶−n³+1)" Jest na to jakiś dobry sposób, czy trzeba przerobić multum zadań żeby dojść do tego?

przyszłymakler: n⁹ + 1 = (n³)³ + 1³

Zdzisław: Okej wszystko jasne, dzięki raz jeszcze