ciekawy przykład z granicy ciągu, pomocy walec : Ciekawy przykład z granicy ciągu

	12 + 22 + 32 + .... + n2
oblicz lim
	6n3 − n2 + 2n +1

problem mam taki że ma wyjść 1/3 a nwm jak to ugryzc zeby sie dalo zrobić z tego coś podobnego do takiego własnie wyniku xD

Mariusz: Skorzystaj z rachunku różnicowego aby policzyć sumę w liczniku

jc: granica = 1/18 Skąd wziąłeś taki brzydki mianownik?

walec : Nie mam pojęcia co to jest xD Są to zadania ze zbioru z 1995 roku więc podstawa programowa może sie troche roznic xD

walec : taka jest odp xD

jc: licznik = n(2n+1)(n+1)/6

5-latek:

	2n3+3n2+n		1		2		1
= limn→∞		*		=		=
	6		6n3−n2+2n+1		36		18

zef: Jak policzyć sumę licznika ?

5-latek:

	n(n+1)
To musisz wiedziec tak jak 1+2+3+..+n=
	2

A ja znalazlem takie zadanie z indukcji gdzie bylo do udowodnienia ze

	n(n+1)(2n+1)
12+22+32+......n2=
	6

zef: Dziękuję

Adamm: zef niech S_n=∑_k=1ⁿk³ S_n+1=S_n+(n+1)³=1+∑_k=2ⁿ⁺¹k³=1+∑_k=1ⁿ(k+1)³= =1+S_n+3∑_k=1ⁿk²+3∑_k=1ⁿk+n

	(n+1)3−1−3∑k=1nk−n
skąd		=∑k=1nk2
	3

	n3+3n2/2+n/2
12+22+32+...+n2=
	3

w taki sposób to można wyprowadzić

Adamm: mam nadzieję że notacja sumacyjna ci nie przeszkadza

Mariusz: Lepszym sposobem jest użycie rachunku różnicowego Δn²=(n+1)²−n²=2n+1 Δ(2n+1)=2n+3−(2n+1)=2

	0		1		2
n2=		x0+		x1+		x2
	0!		1!		2!

Tutaj nie jest potęga tylko dolna silnia Δf(n)=f(n+1)−f(n)

	x2		x3
∑n2=		+
	2		3

	1		1
∑k=0nk3 =∑0n+1=		(n+1)n+		(n+1)n(n−1)−0
	2		3

1
	(n+1)n(3+2n−2)
6

	1
=		(n+1)n(2n+1)
	6

Mariusz: " Niestety, metoda zaburzania dalece nie zawsze działa" Cytat z ważniaka http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Sumy_sko%C5%84czone_i_rachunek_r%C3%B3%C5%BCnicowy