Równanie trygonometryczne Kani: rozwiąż równanie sin³x+cos³x=1

M:

Mariusz: (sinx+cosx)² = sin²x+2sinxcosx+cos²x (sinx+cosx)² = 1+2sinxcosx

	1
sinxcosx =		((sinx+cosx)2 − 1)
	2

(sinx+cosx)³ = sin³x+3sin²xcosx+3sinxcos²x+cos³x (sinx+cosx)³ = sin³x + cos³x + 3sinxcosx(sinx+cosx) sin³x + cos³x = (sinx+cosx)³ − 3sinxcosx(sinx+cosx)

	3
sin3x + cos3x = (sinx+cosx)3 −		((sinx+cosx)2 − 1)(sinx+cosx)
	2

	3		3
sin3x + cos3x = (sinx+cosx)3 −		((sinx+cosx)3)+		(sinx+cosx)
	2		2

	1		3
sin3x + cos3x = −		(sinx+cosx)3+		(sinx+cosx)
	2		2

sinx+cosx = t

	1		3
−		t3+		t=1
	2		2

	1		3
−		t3+		t−1=0
	2		2

t³−3t+2 = 0 t³−t−2t+2 =0 t(t²−1)−2(t−1) = 0 t(t+1)(t−1)−2(t−1) = 0 (t−1)(t²+t−2)=0 (t−1)²(t+2)=0

	1		1
sin(x)+cos(x)=√2(		cosx+		sinx)
	√2		√2

	π
sin(x)+cos(x)=√2cos(		−x)
	4

	π		π
√2cos(		−x) = −2 ∨ √2cos(		−x) = 1
	4		4

	π		π		√2
cos(		−x) = −√2 ∨ cos(		−x) =
	4		4		2

	π
cos(		−x) = −√2
	4

x ∉ ℛ

	π		√2
cos(		−x) =
	4		2

π		π
	−x =		+2kπ , k ∊ ℤ ⋁
4		4

π		π
	−x = −		+2kπ, k ∊ ℤ
4		4

x = 2kπ, k ∊ ℤ ⋁

	π
x =		+ 2kπ, k ∊ ℤ
	2

Iryt: Można zapisać prawą stronę jako: sin²x+cos²x, będzie mniej rachunków.

wredulus_pospolitus: dokładnie chciałem to zaproponować

Mariusz: To był mój pierwszy pomysł ale nie bardzo wiedziałem co z tym dalej zrobić sin³x+cos³x = 1 sin³x+cos³x = sin²x+cos²x sin³x−sin²x + cos³x−cos²x = 0 sin²x(sinx−1)+cos²x(cosx−1) = 0 I tu się zatrzymałem ale jak się dobrze przyjrzeć to po kolejnym zastosowaniu jedynki trygonometrycznej a następnie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dostaniemy wspólny czynnik sin²x(sinx−1)+cos²x(cosx−1) = 0 sin²x(sinx−1)+(1−sin²x)(cosx−1) = 0 sin²x(sinx−1)−(sin²x−1)(cosx−1) = 0 sin²x(sinx−1)−(sinx−1)(sinx+1)(cosx−1) = 0 (sinx−1)(sin²x − (sinxcosx−sinx+cosx−1)) = 0 (sinx−1)(sin²x − sinxcosx+sinx−cosx+1) = 0 (sinx−1)(sin²x − sinxcosx+sinx−cosx+1) = 0 (sinx−1)(1−cos²x − sinxcosx+sinx−cosx+1) = 0 (sinx−1)((1−cosx)(1+cosx) +sinx(1− cosx)+(1−cosx)) = 0 (sinx−1)(1−cosx)(1+cosx+sinx+1) = 0 (sinx−1)(1−cosx)(2+cosx+sinx) = 0

Iryt: sin²x≥0 , cos²x≥0 (sinx−1)≤0, cosx−1≤0 to równanie ma rozwiązanie gdy: sin²x(sinx−1)=0 ⋀ cos²x(cosx−1) = 0

wredulus_pospolitus: a że nie istnieje taki x aby sinx = cosx = 0 to jedyna możliwość to: sinx = 1 (wtedy cosx = 0) lub cosx = 1 (wtedy sinx = 0)

Mariusz: Pod względem logicznym dokładniejsze byłoby albo zamiast lub ale też doszedłem do tego wniosku , tyle że po rozwiązaniu równania