Rozwiąż rekurencje niejednorodną Piotrox: Witam, mam problem z nastepującym równaniem takim że: a_n=2a_n−1−a_n−2+n dla n≥2

	2
przy początkowych wartościach 0 dla n=0 i		dla n=1. Jeśli chodzi o rozwiązanie ogólne
	3

a_n⁰ to mam takie coś : x²−2x+1=0 co daje jeden pierwiastek podwójny równy 1 zatem równanie ma postać a_n⁰=r*1ⁿ+s*n*1ⁿ jednak nie wiem jak oszacować do metody przewidywań czy jest to wielomian czy nie bo na ćwiczeniach miałem podobne zadanie też był podwójny pierwiastek rozwiązania ogólnego i wychodziło na to że nie a w innym miejscu wychodziło na to że jest wielomianem więc już sam nie wiem i prosiłbym o wyjaśnienie oraz pomoc w rozwiązaniu zadania

Piotrox: up

Piotrox: up

jc: a_n + a_n−2−2a_n−1 = n Podstaw wielomian 3 stopnia (po lewej masz dyskretny odpowiednik 2 pochodnej).

jc:

n+2 3		n+1 3		n 3
	−2		+		= n

	n+2 3
Rozwiązanie an = n/2 +		. Sprawdź!

Pytający: Rozwiązanie funkcjami tworzącymi: a₀=0

	2
a1=
	3

a_n=2a_n−1−a_n−2+n, n≥2

	2x
F(x)=∑(n=0 do ∞)(anxn)=0+		+∑(n=2 do ∞)((2an−1−an−2+n)xn)=
	3

	2x
=		+2x∑(n=2 do ∞)(an−1xn−1)−x2∑(n=2 do ∞)(an−2xn−2)+∑(n=2 do ∞)(nxn)=
	3

	2x
=		+2x(∑(n=0 do ∞)(anxn)−0)−x2∑(n=0 do ∞)(anxn)+∑(n=0 do ∞)(nxn)−0−x=
	3

	2x
=		+2xF(x)−x2F(x)+∑(n=0 do ∞)((n+1)xn)−∑(n=0 do ∞)(xn)−x=
	3

	−x		1		1
=		+(2x−x2)F(x)+		−		⇒
	3		(1−x)2		1−x

	−x		1		1
⇒ F(x)(1−2x+x2)=		+		−
	3		(1−x)2		1−x

	−x		1		1
F(x)=		+		−		=
	3(1−x)2		(1−x)4		(1−x)3

	1		1		1		1
=		−		−		+		=
	(1−x)4		(1−x)3		3(1−x)2		3(1−x)

	n+3 n		n+2 n		1	n+1 n		1	n n
=∑(n=0 do ∞)((		−		−			+			)xn) ⇒
					3			3

n+3 n

n+2 n

1

n+1 n

1

n n

n2(n+3)

⇒ an=

−

−

+

=

3

3

6

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a(n)%3D2a(n-1)-a(n-2)%2Bn,+a(0)%3D0,+a(1)%3D2%2F3

jc: Cóż, zamiast 2/3 wziąłem 3/2. W takim razie powinno być:

	2+n 3
an =		− n/3

Mila: Witam pasjonatów Też mi się udało! Wcześniej miałam drobny błąd rachunkowy.

	1		1
an=		n3+		n2
	6		2

Zrobiłam też innym sposobem− kontynuacja sposobu Piotra.