Rownanie z sinusem Makarena: Wyznacz zbiór wartości funkcji: f (x) = − sin² x + 4 sin x + 12

kochanus_niepospolitus: t = sinx ; t ∊ <−1;1> f(t) = −t² + 4t + 12 = −(t+2)(t−6) t_wierzchołka = To y_wierzchołka =

Makarena: T wierzchołka: ^−b_2a = −4/−2 = 2 Y wierzchołka: ^−Δ_4a = 16 I co dalej?

Mariusz: 16−(4−4sin x+sin² x) 16−(2−sin x)² sin x=−1 f(x)=7 sin x=0 f(x)=16 f(x)∊<7,16>

Mariusz: sin x=1 f(x)=15 <7,15>

kochanus_niepospolitus: Mariusz rozwiązał ciekawiej. Ale Mariusz: sinx = 0 ⇒ f(x) = 12

Makarena: Mariusz, mógłbyś to jakoś słownie objaśnić?

kochanus_niepospolitus: Mariusz zapisał tak: f (x) = − sin²x + 4 sin x + 12 f(x) = −sin²x + 4sinx − 4 + 4 + 12 f(x) = −(sin²x − 4sinx + 4) + 4 + 12 f(x) = −(sinx − 2)² + 16 po takim zapisaniu funkcji sprawdza wartość jaką ów funkcja f(x) może przyjmować, zauważa, że gdy wartość podnoszona do kwadratu będzie NAJWIĘKSZA to funkcja przyjmie wartość najmniejszą, dlatego: dla sinx = −1 f(x) = − (−1 − 2)² + 16 = −9 + 16 = 7 zauważ, że gdy wartość podnoszona do kwadratu będzie NAJMNIEJSZA to funkcja przyjmie wartośc największą, dlatego: dla sinx = 0 f(x) = −(0 −2)² + 16 = −4 + 16 = 12 i stąd masz zbiór wartości (bo sinx przyjmuje każdą wartość z przedziału <−1;0> )

Mariusz: No tak ale gdy sinx=1 to 16−(2−sin x)² będzie wynosić 16−(2−1)²=16−1=15 Nie pomyślałem dobrze nad tym stąd pierwszy wynik był błędny

Mariusz: Gdybyśmy mieli 16−(2−(−sin² x))² to moglibyśmy podstawiać takie wartości

Mariusz: Warto zauważyć że zarówno wielomian (tutaj trójmian kwadratowy) jak i funkcja trygonometryczna sinus są ciągłe Dalej tak jak napisał kochanus tyle że wygląda na to że podstawiałem te watości trochę na oślep i przy wyznaczeniu górnego krańca przedziału nie wziąłem pod uwagę tej dwójki ale kochanus ma rację w celu znalezienia dolnego krańca przedziału powinienem podstawić najmniejszą wartość sinusa (wtedy kwadrat będzie największy) a w celu znalezienia górnego krańca przedziału powinienem podstawić największą wartość sinusa (wtedy kwadrat będzie najmniejszy)