całka stud: Witam. Mam podaną definicję całki niewłaściwej: Jeśli f: [ a,∞)→ℛ jest funkcją ciągłą, to całką niewłaściwą tej funkcji na przedziale [a,∞) nazywamy ∫_a ^∞ f(x)dx=lim_t→∞∫_a ^t f(x)dx, o ile granica istnieje i ejst skończona. mówimy wtedy, że całka jest zbieżna. Chciałbym zapytać kiedy granica jest skończona. Prosze o wytłumaczenie, oraz kiedy istnieje granica

powrócony z otchłani: Np. Dla f(x) = 1/(x²)

stud: ale prosiłbym o wytlumaczenie "słowne" a nie na przykłądzie

powrócony z otchłani: 1) liczysz calke 2) podstawiasz 't' 3) liczysz granice i granica musi przyjmowac konkretna wartosc (np. π)

powrócony z otchłani: Natomiast kiedy granica NIE ISTNIEJE −−− kiedy mamy do czynienia z jakimis funkcjami okresowymi (patrz na przyklad trygonometria).

kochanus_niepospolitus: albo tak 'na chłopski rozum' 1) Co to jest całka oznaczona? Całka oznaczona to nic innego jak pole powierzchni obszaru pomiędzy funkcją f(x), a osią OX w zadanym odcinku ( [a,b] ). 2) Więc kiedy taka powierzchni może być 'skończona' dla 'nieskończonego' przedziału? No wtedy, gdy idąc w stronę 'nieskończoności' wykres f(x) będzie coraz bliżej 0 ... a przez to powierzchnia obszaru będzie coraz bardziej 'znikoma'. 3) W takim razie jaki podstawowy warunek musi spełniać f(x), aby ∫_a^∞c f(x) dx miała szansę być zbieżna? No cóż ... na pewno lim_x−>∞ f(x) = 0 I to jest tak 'łopatologicznie'. Uwaga Warunek lim_x−>∞ f(x) = 0 nie jest wystarczający na to, aby całka była skończona.

	1
Np. ∫1∞		dx = limt−>∞ ( ln t − 0 ) = +∞
	x

kochanus_niepospolitus: Jednak, jeżeli tegoż warunku nie spełnia ... to NA PEWNO nie całka nie będzie zbieżna

jc: kochanus_niepospolitus, a co powiesz o funkcji, której wykres jest łamaną przechodzącą przez punkty: (0,0), (1−1/2,0), (1,1), (1+1/2,0), (2−1/4,0), (2,1), (2+1/4,0), (3−18,0), (3,1),(3+1/8), ... ? Funkcja jest ciągła, nie ma granicy, a całka od 0 do ∞ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2.

kochanus_niepospolitus: zacznijmy od tego, że ów funkcja nie jest ciągła

kochanus_niepospolitus: i z pewnością nie jest określona na przedziale [a,+∞) (bo zbudowałeś ją 'z przerwami' −−− to akurat da się naprawić)

kochanus_niepospolitus: aaa ... chodzi Ci o takie 'piramidki' no okey (o ile poprawisz 'luki' )

jc: Połącz kolejne punkty odcinkami i uzyskasz wykres funkcji ciągłej (choć nie jednostajnie ciągła) na przedziale [0,∞). To taka piła, w której kolejne zęby są coraz cieńsze.

jc: Nie ma żadnych luk, po prostu wierzchołki łamanej zgrupowałem po 3 w każdej linii.

kochanus_niepospolitus: no okey okey. Do autora: To co podałem miało na celu pokazanie Ci w jaki szybki sposób możesz określić czy dana funkcja ma szansę posiadania całki zbieżnej, czy tez nie. Jednak jak jc pokazał, można stworzyć funkcje takie, które będą dawały 'fałszywie' negatywny sygnał, podczas gdy całke zbieżną posiadają.