Metoda uzmienniania stałych fasolus: Mam problem z rozwiązaniem równania różniczkowego metodą uzmienniania stałych: y''−2y'tg(t)=1 Wie ktoś jak to policzyć ?

jc: (cos²x y ' ) ' = cos² x y'' − 2 cos x sin x y ' = cos² (y'' − 2 y' tg x) Rozwiązujemy równanie jednorodne (cos²x y ' ) ' = 0 cos² x y' = C₁ y' = C₁ / cos²x y = C₁ tg x + C₂ Rozwiązania bazowe: tg x, 1 u' tgx + v' = 0 u' / cos²x = 1 u' = cos² x v' = − sin x cos x u = (x + cos x sin x) /2 + C₁ v = (cos² x) /2 + C₂ y = u tg x + v

Mariusz: y''−2y'tg(t)=1 Podstawieniem u=y' obniżamy rząd równania u=y' u'=y'' Dostaliśmy równanie liniowe ale pierwszego rzędu u'−2tg(t)u=1 Rozwiązujemy równanie jednorodne u'−2tg(t)u=0 u'=2tg(t)u

u'
	=2tg(t)
u

du
	=2tg(t)dt
u

du		(−sin(t))
	=−2		dt
u		cos(t)

ln|u(t)|=−2ln|cos(t)|+C

	C
u(t)=
	cos2(t)

Uzmienniamy stałą

	C(t)
u(t)=
	cos2(t)

	C(t)(cos2(t)+sin2(t))
u(t)=
	cos2(t)

u(t)=C(t)(1+tg²(t)) u'−2tg(t)u=1 C'(t)(1+tg²(t))+2C(t)tg(t)(1+tg²(t))−2C(t)tg(t)(1+tg²(t))=1 C'(t)(1+tg²(t))=1

	1
C'(t)=
	1+tg2(t)

	1		1
C(t)=		sin(t)cos(t)+		t+C1
	2		2

	1		1	t		C1
u(t)=		tg(t)+			+
	2		2	cos2(t)		cos2(t)

	1		1	t		C1
y'(t)=		tg(t)+			+
	2		2	cos2(t)		cos2(t)

	1		1		1
y(t)=−		ln|cos(t)|+		ttg(t)+		ln|cos(t)|+C1tg(t)+C2
	2		2		2

	1
y(t)=(		t+C1)tg(t)+C2
	2