matematykaszkolna.pl
przeksztalcenia liniowe reja: Przekształcenie liniowe : ℛ4 −−> ℛ3 dane jest wzorem L(x,y,z,t) = (x+5y+4z+t, 3x+y+2z+t, 5x+4y+5z+2t). Uzasadnij, że v = (1, 1, −1, −2) należy do KerL, a w = (4,0,2) należy do ImL oraz jeśli to konieczne uzupełnij każdy z tych wektorów do baz KerL i ImL.. Podpowie mi ktoś jak uzasadnia się, że coś należy, lub nie należy do bazy jądra lub obrazu? Policzyłam bazy obrazu i jądra tego przekształcenia i niestety nie otrzymałam w nich takich wektorów. Mianowicie: KerL: lin {(2,1,0,7),(1,0,1,−5)} ImL: lin{(1,3,5),(1,1,2)}
1 kwi 14:41
reja: Może ktoś jednak pomoże ?
1 kwi 16:07
reja: Ktoś, coś ?
3 kwi 09:07
Pytający: Wektor v=(1, 1, −1, −2) należy do KerL, jeśli L(v)=0, czyli wystarczy sprawdzić: L(v)=(1+5*1+4*(−1)+(−2), 3*1+1+2*(−1)+(−2), 5*1+4*1+5*(−1)+2*(−2))=(0, 0, 0) ⇒ v∊KerL Policzone przez Ciebie jądro jest prawie dobre (albo źle przepisałaś): KerL: lin{(2,1,0,−7),(1,0,1,−5)} v∊KerL, zatem v jest kombinacją liniową wektorów z bazy KerL. Aby wyznaczyć bazę KerL zawierającą wektor v wystarczy, że utworzysz macierz, której wierszami są wektory: (1, 1, −1, −2) (2,1,0,−7) (1,0,1,−5), a następnie stosując przekształcenia usuniesz liniowo zależny wektor (nie przekształcając wektora v, który chcemy mieć w bazie). I przykładowo po przekształceniach: 1. W2−2W1, W3−W1, W3−W2 otrzymamy: (1, 1, −1, −2) (0,−1,2,−3) (0,0,0,0), czyli KerL=lin{(1, 1, −1, −2),(0,−1,2,−3)}. Dla sprawdzenia: L((0,−1,2,−3))=(0,0,0) − gitara. 2. W3+W1, W3−W2 (1, 1, −1, −2) (2,1,0,−7) (0,0,0,0), czyli KerL=lin{(1, 1, −1, −2),(2,1,0,−7)}. Dla sprawdzenia: L((2,1,0,−7))=(0,0,0) − gitara. Stosując różne przekształcenia otrzymasz różne wektory uzupełniające v do bazy KerL, ale każda z tych odpowiedzi jest równoznaczna, poprawa (istnieje nieskończenie wiele takich uzupełnień). Wektor w = (4,0,2) należy do ImL, jeśli równanie L(x,y,z,t)=w ma rozwiązanie. Jest to równoznaczne z tym, że poniższy układ równań ma rozwiązanie:
x+5y+4z+t=4 
3x+y+2z+t=0
5x+4y+5z+2t=2 
Układ ten możesz rozwiązać jak chcesz, np. macierzowo. Nie jest on sprzeczny: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2B5y%2B4z%2Bt%3D4,+3x%2By%2B2z%2Bt%3D0,+5x%2B4y%2B5z%2B2t%3D2
 4 2 
Przykładowe rozwiązanie: x=0, y=

, z=−

, t=0.
 3 3 
Jako że w∊ImL, możemy napisać (wykorzystując wyznaczoną przez Ciebie bazę obrazu): ImL=lin{(4,0,2),(1,3,5),(1,1,2)} Aby wyznaczyć bazę ImL zawierającą wektor w, usuwamy wektory liniowo zależne (nie ruszając wektora w): (4,0,2) (1,3,5) (1,1,2)
 1 1 
Przekształcamy: W2

W1,W3

W1, W2−3W3, otrzymujemy:
 4 4 
(4,0,2) (0,0,0)
 3 
(0,1,

)
 2 
 3 
Zatem ImL=lin{(4,0,2),(0,1,

)}.
 2 
Może się nigdzie nie pomyliłem. emotka
3 kwi 14:03
αβγδπΔΩinnerysuję
Φεθμξρςσφωηϰϱ
±
imię lub nick
zobacz podgląd
wpisz,
a otrzymasz
5^252
2^{10}210
a_2a2
a_{25}a25
p{2}2
p{81}81
Kliknij po więcej przykładów
Twój nick