Pytający:
Wektor v=(1, 1, −1, −2) należy do KerL, jeśli L(v)=0
→, czyli wystarczy sprawdzić:
L(v)=(1+5*1+4*(−1)+(−2), 3*1+1+2*(−1)+(−2), 5*1+4*1+5*(−1)+2*(−2))=(0, 0, 0) ⇒ v∊KerL
Policzone przez Ciebie jądro jest prawie dobre (albo źle przepisałaś):
KerL: lin{(2,1,0,
−7),(1,0,1,−5)}
v∊KerL, zatem v jest kombinacją liniową wektorów z bazy KerL. Aby wyznaczyć bazę KerL
zawierającą wektor v wystarczy, że utworzysz macierz, której wierszami są wektory:
(1, 1, −1, −2)
(2,1,0,−7)
(1,0,1,−5),
a następnie stosując przekształcenia usuniesz liniowo zależny wektor (nie przekształcając
wektora v, który chcemy mieć w bazie).
I przykładowo po przekształceniach:
1. W
2−2W
1, W
3−W
1, W
3−W
2 otrzymamy:
(1, 1, −1, −2)
(0,−1,2,−3)
(0,0,0,0),
czyli KerL=lin{(1, 1, −1, −2),(0,−1,2,−3)}.
Dla sprawdzenia: L((0,−1,2,−3))=(0,0,0) − gitara.
2. W
3+W
1, W
3−W
2
(1, 1, −1, −2)
(2,1,0,−7)
(0,0,0,0),
czyli KerL=lin{(1, 1, −1, −2),(2,1,0,−7)}.
Dla sprawdzenia: L((2,1,0,−7))=(0,0,0) − gitara.
Stosując różne przekształcenia otrzymasz różne wektory uzupełniające v do bazy KerL, ale każda
z tych odpowiedzi jest równoznaczna, poprawa (istnieje nieskończenie wiele takich uzupełnień).
Wektor w = (4,0,2) należy do ImL, jeśli równanie L(x,y,z,t)=w ma rozwiązanie. Jest to
równoznaczne z tym, że poniższy układ równań ma rozwiązanie:
⎧ | x+5y+4z+t=4 | |
⎨ | 3x+y+2z+t=0 |
|
⎩ | 5x+4y+5z+2t=2 | |
Układ ten możesz rozwiązać jak chcesz, np. macierzowo. Nie jest on sprzeczny:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2B5y%2B4z%2Bt%3D4,+3x%2By%2B2z%2Bt%3D0,+5x%2B4y%2B5z%2B2t%3D2
| 4 | | 2 | |
Przykładowe rozwiązanie: x=0, y= |
| , z=− |
| , t=0. |
| 3 | | 3 | |
Jako że w∊ImL, możemy napisać (wykorzystując wyznaczoną przez Ciebie bazę obrazu):
ImL=lin{(4,0,2),(1,3,5),(1,1,2)}
Aby wyznaczyć bazę ImL zawierającą wektor w, usuwamy wektory liniowo zależne (nie ruszając
wektora w):
(4,0,2)
(1,3,5)
(1,1,2)
| 1 | | 1 | |
Przekształcamy: W2− |
| W1,W3− |
| W1, W2−3W3, otrzymujemy: |
| 4 | | 4 | |
(4,0,2)
(0,0,0)
| 3 | |
Zatem ImL=lin{(4,0,2),(0,1, |
| )}. |
| 2 | |
Może się nigdzie nie pomyliłem.