Rozwinąc funkcję w szereg Maclaurina. pingwinek120:

	2
Witam , mam oto taka funkcję: f(x)=
	(1−x)3

Policzyłam sb czetery pierwsze pochodne po podstawieniu do wzoru itd. mam: ..=2−2*3x+2*2*3x²−20x³+30x⁴... Nie za bardzo rozumiem jak mam to zapisać w szereg nie widzę tego zupełnie , a w podręczniku mam zapisane to tak ..=1*2+2*3x+3*4x²+...+(n+1)(n+2)xⁿ Skąd to niby wynika skoro , jak sobie policzyłam pochodne a następnie wartości w x=0, to przecież wida że szereg jest naprzemienny raz ma wartości dodatnie a raz ujemne...?

pingwinek120: ktoś coś ?

Pytający: Musiałaś źle pochodne policzyć:

	2
f(x)=
	(1−x)3

	2*(−3)*(−1)		2*3
f'(x)=		=
	(1−x)4		(1−x)4

	2*3*4
f''(x)=
	(1−x)5

...

	(n+2)!
f(n)(x)=
	(1−x)n+3

	f(n)(0)		(n+2)!
f(x)=∑(n=0 do ∞)		xn=∑(n=0 do ∞)		xn=∑(n=0 do ∞)(n+1)(n+2)xn
	n!		n!

pingwinek120: Masz rację pomyliłam się przy liczeniu pochodnych , dziękuję Ci bardzo

pingwinek120: Mając jeszcze taką funkcję , mam napisać wzór ogólny z resztą R₄. f(x)=x²sinx nie wiem czy dobrze zapisałam(mam na myśli wzór ogólny) ?

	x5		x7
=...x3−		+		+...+..=
	6		120

	x(2n−1)
=∑(∞ n=2) (−1)n		+ R4
	n!

i tyle wystarczy czy coś jeszcze z tą reszta trzeba zrobić?

pingwinek120: ?

Pytający: Z resztą nic nie trzeba zrobić, ale ten wzór trochę nie taki. Aby podać taki wzór ogólny, nie trzeba nic liczyć:

	f(n)(0)
f(x)=∑(n=0 do 4)(		xn) + R4
	n!

Jeśli chcemy to rozpisać, to możemy policzyć kolejne współczynniki przy xⁿ dla 0≤n≤4. Można po kolei liczyć pochodne lub można też wiedzieć, że sinus rozpisuje się jako:

	(−1)n
sinx=∑(n=0 do ∞)(		x2n+1)
	(2n+1)!

Stąd:

	(−1)n
x2sinx=∑(n=0 do ∞)(		x2n+3)
	(2n+1)!

Jak widać, dla kolejnych n potęgi iksa to: x³, x⁵, x⁷... (dla pozostałych pochodna w pierwotnym wzorze się zeruje), a nas interesują jedynie te do x⁴ włącznie zatem ostatecznie:

	(−1)0
f(x)=x2sinx=		x2*0+3 + R4=x3+ R4
	(2*0+1)!

Pytający: Jeśli miałoby być z resztą R₈ miałabyś: f(x)=x²sinx=

	(−1)0		(−1)1		(−1)2
=		x2*0+3+		x2*1+3+		x2*2+3+R8=
	(2*0+1)!		(2*1+1)!		(2*2+1)!

	x5		x7
=x3−		+		+R8
	6		120

pingwinek120: No ok , ale policzyłam sobie te współczynniki przy kolejnych pochodnych i zapisałam sobie to tylko mam problem ze znalezieniem sobie tego wzoru ogólnego do tej funkcji , nie znam wzoru na rozpisanie sinusa więc w takim wypadku nie pozostaje mi nic jak kombinowanie i patrzenie na to jak zachowuje się ten mój szereg dla n=4 włącznie tak?

pingwinek120: jeszcze raz dziękuję Ci bardzo za wszelką pomoc

Pytający: No tak, musisz policzyć pochodne do czwartej włącznie, i wtedy masz:

	f(n)(0)		f(n)(0)
f(x)=x2sinx=∑(n=0 do ∞)(		xn)=∑(n=0 do 4)(		xn)+R4=
	n!		n!

=0*x⁰+0*x¹+0*x²+1*x³+0*x⁴+R₄=x³+R₄ I to jest Twój wzór ogólny z resztą R₄, nie musisz go podawać w postaci szeregu. Acz jeśli chcesz, masz dowolność wyboru tego szeregu, byleby interesujące Cię współczynniki się zgadzały:

	(−1)n
f(x)=x2sinx=x3+R4=∑(n=3 do 3)(xn)+R4=∑(n=0 do 0)(		x2n+3)+R4=
	(2n+1)!

=∑(n=0 do 0)(xⁿ⁺³)+R₄ Każdy z tych zapisów po rozwinięciu daje to samo. Nie każdego jednak mogłabyś użyć jeśli miałabyś podać wzór z resztą np. R₈. Toteż jeśli koniecznie chcesz podać z szeregiem − tak musisz go sobie wykombinować. I proszę bardzo.