Granice eveline: Mam prośbę ogromną... Pojęłam całki, pochodne ale granice to już nie na moją głowe 3 przykłady do rozwiązania, a) lim n→∞(√n²+n−n) b) lim x→0 sinx −x cosx / x³ c) lim x→0 e²x−1 / ln(1+2x) Pomoże ktoś?

paziówna: a to dość ciekawe... przecież pochodne opierają się na granicach jeśli ślepa nie jestem to: a) lim √n² + n − n = lim √n² = lim n = ∞ n→∞ n→∞ ↑n∊ℕ n→∞

eveline: Heh.. może dlatego że zaczęłam pewnie tak od drugiej strony

paziówna: w b) musisz się bardzeij postarać o zapis, niestety

paziówna: i w c) tez. napisz tak bardzo porządnie te ułamki! bo ja nie wiem co jest gdzie

eveline: Proszę bardzo Tacy ludzie jak Ty podnoszą mnie na duchu lim sinx−x cosx x→0 −−−−−−−−−−− x³ lim e²x − 1 x→0 −−−−−−−−−−− ln(1+2x)

paziówna: och. słyszałaś może o delopitalu? nie pamiętam, jak nazwisko tego żabojada się pisało

paziówna: de l'Hopital

eveline: tyle , że istnieje taki to chyba troszkę za mało

paziówna: jego reguła polega na liczeniu pochodnych licznika i mianownika w przypadku nieoznaczoności,

	∞		0
czyli np.		albo coś takiego, a tutaj właśnie mamy coś takiego.
	∞		0

więc liczymy pochodną! (sinx − xcosx)' = ... (x³)' = ...

paziówna: aha i kilka pytań na boczku. jak to się stało, że wiedzę masz przewróconą do góry nogami? (ew który rok studiów i takie tam )dlaczego tacy ludzie, jak ja podnoszą Cię na duchu? i jak wyliczysz te pochodne, to wklej je tutaj

eveline: No to dzieła Heh mam jeszcze jedno pytanko... Otóż zadanie brzmi dosłownie "Zbadać przebieg zmienności funkcji i naszkicować jej wykres. "f(x)=x⁴−5/4x+1/4. Proszę o sprawdzenie czy robię to dobrze 1. Określenie dziedziny. D=R 2.Obliczenie m. zerowych, x₁=1, , x₂=2/8 i punktów przecięcia z osią x. To chyba to samo? 3.Obliczenie pochodnej, wynik 4x³−5/4 D=R 4.Asymptoty ukośne i poziome.... Nie mam pojecia... 5.Badamy monotonicznośc fnkcji badajac znak pochodnej....... to samo 6.Szukamy ekstermów lokalnych 7. Obliczamy pochodną pochodnej. wynik 12x² 8.Badamy znak drugiej pochodnej

paziówna: no dobra, nie wiem, czy to brak entuzjazmu czy co.. (sinx − xcosx)' = cosx − (xcosx)' = cosx − (1*cosx + x*(−sinx)) = cosx − cosx + xsinx = x*sinx (x³)' = 3x² patrzymy teraz:

	x*sinx		sinx
lim		= lim
	3x2		3x

x→0 x→0 i znów liczymy pochodną!

eveline: pierwszy rok, wiedza moja tak wygląda, bo taka była kolejność wykładów.. Na marginesie dodam ze niestacjonarne więc w sumie robie wszystko sama a nie wiedziałam że w tym przypadku trzeba było by od drugiej strony Ludzie mnie tacy podnoszą na duchu, bo siedzie już nad tymi zadaniami ponad tydzien i poradzic sobie nie moge....Ale zawsze(jak widać na załączonym obrazku trafi sie ktoś, kto pomoże

eveline: nie trzeba było, licze

paziówna: 2. tak, to to samo 4. i w dół zajmiemy się i tym, tylko skończmy te granice

paziówna: mhm pierwszy rok, a mogę spytać jakie kierunek? to teraz policz druga pochodną, bo regułę delopitala stosuje się do skutku, tzn znów mamy

	0
nieoznaczoność (		) więc teraz czas na drugą pochodną
	0

eveline: ekonomia... druga pochodna cosx −−−−−−− 3

paziówna: uu, no to ładnie

	cosx
no i jak myślisz... jaki może być lim(		) = ?
	3

x→0 ja zawsze robię myk, że "podstawiam" pod x to, do czego dąży...

eveline: 0? Kurcze, niczym ze ślepym o kolorach

paziówna: odczytaj z wykresu wartość cosinusa dla argumentu 0

eveline: o jej... To to już całkiem Zgaduje że 1....

paziówna: dobrze zgadujesz wstaw to do granicy i jaka ona jest...?

eveline: yyy.. nie rozumiem pytania

paziówna: xD chodziło mi o:

	cosx		cos0
lim		= lim		= ... ile wynosi granica?
	3		3

x→0 x→0

paziówna: tzn. to jest cholernie nieformalny zapis, na żadnym kolokwium broń Boże tak nie pisz!

eveline: to chodzi o to że to jest 0/3? To wychodzi 0.. Nie wiem, nie mam zielonego pojęcia

paziówna: aaa! przed sekundą podałaś wartość cosinusa dla 0! dlaczego Ci się odmieniło? patrz na wykres!

eveline: czyli 1/3?

paziówna: taaaaak! zwycięstwo!

eveline: heh No to super w drugim przykładzie pochodne to 4e²x i 1? Może pani chce isć spać a nie liczyc tu ze mną Bo ja do pracy na 7 ale jakos dam rade

paziówna: dobra, c) hm a tam jest e²x czy e^2x?

eveline: tzn w przykładzie jest e^2x

paziówna: jejciu jaka pani xD dziewczyno, daj spokój nie chciałam Cię wcześniej do siebie zniechęcać, ale ja jestem w Twoim wieku i poza tym, że siedzę tu z Tobą, to uczę się na jutrzejsze kolokwium z analizy więc jeśli chcesz, możemy przyspieszyć tempa, tylko wiem, że jeśli sama się wysilisz, to się nauczysz

eveline: Wiek mnie nie zniechęca, wiem, że są madrzejsi ode mnie w tej dziedzinie, którzy sa w moim wieku

eveline: Mogę do Ciebie wysłać mailowo moją karteczkę zadaniami a tę, na której mam rozwiązania? Tak dla sprawdzenia Byc może bede mogła się odwdzięczyć w innej dziedzinie jakiejs

paziówna: ale tą panią mnie rozwaliłaś sekundę sekundę. napierw musimy ustalić, czy jest ta nieoznaczoność. nie można tak od razu bez sprawdzenia, bo wtedy reguła nie działa i błędy w rachunkach są

	e2x − 1		1−1		0
lim		= lim		= lim
	ln(1 + 2x)		ln1		0

x→0 x→0 x→0 nieoznaczoność. więc pochodne hm. skąd Ci się wzięła 4 przed e^2x ?

	2
a pochodna z ln to
	1+2x

paziówna: dobra. mejl paziom7@o2.pl jakbyś chciała mnie łapać na gg 6699985, często siedzę na niewidoku

eveline: zamiast 4 ma być 2, pomyłka. Aha, czyli nie licze pochodnej z całego mianownika tylko z samego ln

paziówna: więc nasza granica wygląda teraz tak:

	2e2x
lim		= lim e2x(1+2x)
	2   1+2x

x→0 x→0 mogę się mylić, tez jestem zmęczona od dwóch dni się kompletnie nie wysypiam

paziówna: ale przecież cały mianownik to ln no to jest złożenie ln i (2x+1). (2x + 1)' = 2

	1
( ln(2x + 1) )' = 2*
	ln(2x+1)

	1
bo (lnx)' =
	x

eveline: to tak jak ja... Heh Ja to zrobie(co bede w stanie oczywiście) i wyśle jutro z pracy jak bede miec chwile Kiedy moge liczyć na jakis odzew? Zalezy mi, żeby oddac to w piatek.....

paziówna: ok, ja umieszczę jeszcze rozwiązanie badania monotoniczności, które wkleiłaś w międzyczasie, a na odzew możesz liczyć od razu, jutro mogę mieć dostęp do internetu o 12, ale później wychodzę z uczelni i nie za bardzo wiem, kiedy wracam do domu

paziówna: chyba, że wyślesz teraz

eveline: Nie szkodzi, ja i tak bede w domu dopiero póznym wieczorkiem, obowiązki → chłopak Pierwszą częśc wyśle jeszcze dzis btw, moge zapytać skąd jesteś?

paziówna: z warszawy. z politechniki, jeśli Cię to pocieszy a Ty?

eveline: hmm, praktycznie z Gorlic, jesli wiesz gdzie to ale studiuje w tarnowie. Wysyłam pierwszą część i ide spać, bo jutro bede kimac w robocie.. heh

paziówna: a więc dobranoc!

eveline: Dobrej Nocy

paziówna:

	5		1
f(x) = x4 −		x +
	4		4

1. Określenie dziedziny. D=R 2.Obliczenie m. zerowych, x1=1, , x2=2/8 i punktów przecięcia z osią x. To chyba to samo? 3.Obliczenie pochodnej, wynik 4x3−5/4 D=R 4.Asymptoty ukośne i poziome.... Nie mam pojecia... 5.Badamy monotonicznośc fnkcji badajac znak pochodnej....... to samo 6.Szukamy ekstermów lokalnych 7. Obliczamy pochodną pochodnej. wynik 12x2 8.Badamy znak drugiej pochodnej 1. D = R 2. w sumie nie wiem, po co te miejsca zerowe. choć do naszkicowania na bank się przydadzą

	1
x1 = 1 ∨ x2 = i tu jest problem, bo to jest jakaś liczba z przedziału (0,		) i nie
	4

sposób na nią wpaść. więc ten problem zostawiam na później

	5
3.f'(x) = 4x3 −
	4

4. asymptoty ukośne, no to pochodne w konkretnych punktach(i chyba tez odpowiedniego stopnia), tylko ja za bardzo nie wiem jakich. asymp. poziome to pochodne w punktach ekstremum 5. f'(x) = 0 x³ = 5 x = ³√5 x∊(−∞, ³√5): f'(x) < 0 <−−−−f maleje w danych przedziale x∊(³√5, ∞): f'(x) >0 <−−−−f rośnie w danym przedziale 6. ekstrema lokalne są Ci potrzebne, zanim zaczniesz badać monotoniczność, bo względem ekstremów ustalasz przedziały, w których badasz monotoniczność. i Ty już wiesz, że przed ³√5 malało, a po ³√5 rosło, więc w x = ³√5 osiągnęło minimum.i ekstrema dostajesz z przyrównania f'(x) = 0. 7. hm... pochodna pochodnej to druga pochodna f''(x) = 12x² no i wiadomo (−∞, 0) f maleje w (0, ∞) f rośnie z tego, co widziałam na wykresach, to podstawowa f. ( f(x) ) w x = 0 przecina oś OY