Zad Kkkk: Oblicz tgα+tgβ+tgγ wiedząc że α β γ są kątami w trójkącie i zbiór {tgα,tgβ,tgγ} zawiera się w zbiorze liczb naturalnych

g: Chyba tylko zdegenerowany trójkąt o kątach 0, 0, 180.

jc: Trójkąt o bokach 3, √5, √2 daje tg = 1, 2, 3. Suma = 6. Jak chcesz sprawdzić, czy nie ma innych rozwiązań, rozważ równanie A+B+C=ABC (A = tg α, B = tg β, C = tg γ).

kochanus_niepospolitus:

	sinα		sinβ
tgα + tgβ + tg(180−α−β) =		+		− tg(α+β) =
	cosα		cosβ

	sinαcosβ + cosαsinβ
=		− tg(α+β) =
	cosαcosβ

	sin(α+β)		sin(α+β)
=		−		=
	cosαcosβ		cos(α+β)

	cos(α+β) − cosαcosβ		−sinαsinβ
= sin(α+β)[		= sinγ*		=
	cos(α+β)*cosα*cosβ		−cosαcosβcosγ

= tgα*tgβ*tgγ

jc: Trochę inny trójkąt: 3, √5, 2√2. Jak rozwiązać równanie A+B+C=ABC w dodatnich liczbach całkowitych? Porządkujemy kąty: A ≤ B ≤ C. ABC = A+B+C ≤ 3C AB ≤ 3 A=B=1 ⇒ C= ... policz A=1, B=2 ⇒ C= 3 A=1, B=3 ⇒ C= ... policz Mamy więc jedno rozwiązanie: 1,2,3.