Indukcja Qto: Udowodnij, że dla każdego n ∈ N+: a) 7| n⁷ − n b) 11| 10ⁿ − (−1)ⁿ

jc: Sprawdź, że 7 | (n+1)⁷ − (n+1) − [n⁷ − n]

Adamm: a) 1, 7|0 2. zakładamy że 7|n⁷−n 3. (n+1)⁷−(n+1)=n⁷+7n⁶+21n⁵+35n⁴+35n³+21n²+7n+1−n−1= =n⁷−n+7n⁶+21n⁵+35n⁴+35n³+21n²+7n 7|n⁷−n+7n⁶+21n⁵+35n⁴+35n³+21n²+7n

KKrzysiek: ZAŁ: 11|10^k −(−1)^k 10^k+1 − (−1){k+1) = 10^k * 10¹ + (−1)^k T:11|10^k+1 −(−1)^k+1 10^k+1 − (−1)^k+1= 10^k * 10¹ + (−1)^k = (11−1)*10^k +(−1)^k= 11*10^k −10^k +(−1)^k = 11*10^k −(10^k −(−1)^k) 11*10^k − podzielne przez 11 10^k −(−1)^k − podzielne przez 11 z zał

Qto: OK, dzięki za pomoc Mam jeszcze pytanie. Mam zapisać to zdanie za pomocą symboli logiki: Jeśli iloczyn trzech liczb całkowitych jest ujemny, to jedna z tych trzech liczb jest ujemna Czy muszę tutaj używać jakichś kwantyfikatorów?

Adamm: ∀_{x, y, z∊ℤ} (x*y*z<0 ⇒ x<0 ∨ y<0 ∨ z<0)

Qto: Rozumiem, czyli kwantyfikator musi zostać użyty, dzięki.

Qto: Jeszcze pytanie odnośnie rozpisania tego wzoru (n+1)⁷. Jest jakiś ogólny schemat?

Adamm:

	n k
∀a, b∊ℛ∀n∊ℕ (a+b)n=∑k=0n		akbn−k

	n k		n!
gdzie		=
			k!(n−k)!