Metoda zaburzania Marta: Witam ponownie, zostały mi jeszcze dwa przykłady ∑(od k=0 do n) (−1)^n−k k ∑(od k=0 do n) Hk czy aby je rozwiązać trzeba użyć pochodnych?

Marta: bardzo proszę o pomoc, takiego typu zadań jeszcze nie robiłam i nie wiem jak rozwiązać

Mila: 1) robisz tradycyjnie, problem będziesz miała z sumą: ∑(k=0 do n)(−1)^n−k =0 dla n − nieparzystych ∑(k=0 do n)(−1)^n−k =1 dla n − parzystych Możesz zapisać:

	1
∑(k=0 do n)(−1)n−k=		[ (−1)n+1] obejmuje obydwa przypadki
	2

Marta: tak to się zaczyna? ∑(od k=0 do n) (−1)^n−k k + (−1)^n+1−k k = 0 + ∑(od k=1 do n+1) (−1)^n−k k =∑(od k=0 do n) (−1)^n+1−k k ? pewnie to głupoty ale dalej nie wiem jak to rozwiązać

Mariusz: Metoda zaburzania Metodę masz narzuconą więc rachunku różnicowego nie użyjesz

Marta: to jak to powinnam rozwiazac?

Mariusz: Z rachunkiem różnicowym to byłoby tak Liczysz sumę nieoznaczoną przez części (sumujesz (−1)^−k różnicujesz k) Liczysz sumę oznaczoną od 0 do n+1 Suma oznaczona to różnica wartości sumy oznaczonej na krańcach przedziału Różnica to Δf=f(n+1)−f(n) Natomiast metodą zaburzania nie bawiłem się aż tak często

Marta: kolokwium mam z zaburzania i bardziej interesuje mnie ta metoda ale dziękuje

Mariusz: Trochę masz o tym na ważniaku http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Sumy_sko%C5%84czone_i_rachunek_r%C3%B3%C5%BCnicowy

Pytający: Marto, trochę głupoty. W metodzie zaburzania stosujesz: ∑(od i=0 do n)(a_i)+a_n+1=a₀+∑(od i=0 do n)(a_i+1) Tj. po lewej stronie dodajesz "n+1"−szy wyraz ciągu a_n, a nie "i+1"−szy... "i" (czy k w Twoich przykładach) to tylko licznik/iterator/indeksator (zwał jak zwał), który nie ma sensu poza ∑. Bodaj drugi raz widzę (więc to już może nie być pomyłka), jak używasz tegoż licznika poza sumą, co nie ma zbyt wielkiego sensu, stąd to wyjaśnienie. Toteż w przykładzie: ∑(od k=0 do n) ((−1)^n−k*k) dodajesz "n+1"−szy wyraz poprzez zamianę k na n+1 we wzorze na k−ty wyraz: ∑(od k=0 do n) ((−1)^n−k*k)+(−1)^n−(n+1)*(n+1)=∑(od k=0 do n) ((−1)^n−k*k)−n−1= =0+∑(od k=0 do n) ((−1)^n−(k+1)*(k+1))=−∑(od k=0 do n) ((−1)^n−k*(k+1))= =−∑(od k=0 do n) ((−1)^n−k*k)−∑(od k=0 do n) ((−1)^n−k) ⇒

	n+1−∑(od k=0 do n) ((−1)n−k)
⇒∑(od k=0 do n) ((−1)n−k*k)=
	2

∑(od k=0 do n) ((−1)^n−k) podała Ci Mila, acz dla treningu możesz ją wyznaczyć... metodą zaburzania.

Mila:

Marta: Wyznaczyłam i mega dziękuje już wszystko rozumiem Teraz tylko mi został przykład z pochodną ∑(od k=0 do n) H_k Już mi głupio prosić o pomoc bo tyle Państwu zawdzięczam ale z pochodnymi sobie nie radze czy mogę liczyć na jakieś wskazówki?

Mila: H_n − suma harmoniczna

	1
Hn=∑(k=1 do n)
	k

∑(k=0 do n)H_k wyznaczysz zaburzając sumę : ∑(k=0 do n)k*H_k

Marta: Dobrze zaczynam? ∑(k=0 do n)k*H_k+(n+1)H_n+1=0+∑(k=1 do n+1)k*H_k=∑(k=0 do n) (n+1)*H_n+1

Marta: .

Mila: Nie wiem ile wynosi H₀, jakie są ustalenia, zobacz w notatkach. Wynik znasz? Może Pytający tu spojrzy.

Mila: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of(H_k)+for+k%3D0+to+n

Pytający:

	1
Hn=∑(k=1 do n)
	k

	1
H0=∑(k=1 do 0)		=0
	k

Jakie wartości przyjmuje k w tej sumie? Ano żadne, bo nie istnieje takie całkowite k, że 1≤k≤0 Stąd suma ta jest równa 0. Wolframowe potwierdzenie: http://www.wolframalpha.com/input/?i=H_0&rawformassumption=%7B%22C%22,+%22H_0%22%7D+-%3E+%7B%22Function%22%7D W rozwiązaniu przyda się jeszcze dość oczywista zależność:

	1
Hn+1=Hn+
	n+1

Zatem: ∑(k=0 do n)(kH_k)+(n+1)H_n+1=0+∑(k=0 do n)((k+1)H_k+1)=

	1
=∑(k=0 do n)((k+1)(Hk+		))=∑(k=0 do n)(kHk+Hk+1)=
	k+1

=∑(k=0 do n)(kH_k)+∑(k=0 do n)(H_k)+∑(k=0 do n)(1)= =∑(k=0 do n)(kH_k)+∑(k=0 do n)(H_k)+(n+1) ⇒ ⇒ ∑(k=0 do n)(H_k)=(n+1)H_n+1−(n+1)=(n+1)(H_n+1−1)

Mila: Brakowało Pytającego wczoraj.

Pytający: W ogóle nie zaskoczyło mnie, że Mila (sic!) wywołała mnie osobiście do odpowiedzi. W ogóle. Nic a nic. I swoją drogą Marto, we wczorajszym wpisie z 19:59 w ostatniej sumie dwukrotnie napisałaś (n+1) zamiast (k+1)... widać ostatnie wyjaśnienie pomogło − mylimy się teraz w drugą stronę. I jeśli masz kilka wyrażeń (poza sumą), dobrze jest objąć w nawiasy to, co się sumuje, coby rozwiać wątpliwości (i samemu się nie pomylić): ∑(k=0 do n)a_k*b+c*d ∑(k=0 do n)(a_k*b)+c*d ← jaśniej, promienniej, cudowniej.