Metoda zaburzania Marta: Metoda zaburzania Witam, bardzo proszę o sprawdzenie czy dobrze rozwiązuje to zadanie: ∑(i=0 do n)i*2i ∑(i=0 do n)i*2i + (i+1)*2ⁱ⁺¹=0+∑(i=1 do n+1)i*2ⁱ=∑(i=0 do n)(i+1)*2ⁱ⁺¹= =∑(i=0 do n)(i+1)*2ⁱ*2=2Sn*2ⁱ*2 Sn+(i+1)*2ⁱ⁺¹=2Sn*2ⁱ*2 Sn=...

Pytający: ∑(i=0 do n)(i*2ⁱ) + (n+1)*2ⁿ⁺¹=∑(i=0 do n)((i+1)*2ⁱ⁺¹)=2∑(i=0 do n)((i+1)*2ⁱ)= =2(∑(i=0 do n)(i*2ⁱ)+∑(i=0 do n)(2ⁱ))=2(∑(i=0 do n)(i*2ⁱ)+(2ⁿ⁺¹−1))= =2∑(i=0 do n)(i*2ⁱ)+2ⁿ⁺²−2 ⇒ ⇒∑(i=0 do n)(i*2ⁱ)=(n+1)*2ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺²+2=n2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹−2*2ⁿ⁺¹+2= =n2ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺¹+2=2(n2ⁿ−2ⁿ+1)=2((n−1)2ⁿ+1) https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+i%3D0+to+n+of+i*2%5Ei

Marta: Dziękuje bardzo za pomoc, tylko nie za bardzo wiem co się stało w tym momencie z ∑(i=0 do n)(2i)) =2(∑(i=0 do n)(i*2ⁱ)+(2ⁿ⁺¹−1))= =2∑(i=0 do n)(i*2ⁱ)+2ⁿ⁺²−2 ⇒ Prosiłabym o wytłumaczenie

Mila: ∑(i=0 do n) 2ⁱ=2⁰+2¹+2²+...+2ⁿ suma (n+1) wyrazów c. geom. a₁=1, q=2

	1−2n+1
S=1*		=2n+1−1
	1−2

2*(2ⁿ⁺¹−1)=2*2ⁿ⁺¹−2

Pytający: Widać uznałem, że ta zależność jest oczywista (a wcale taka być nie musi): ∑(i=0 do n)(2ⁱ)=2ⁿ⁺¹−1 Cóż, możesz tenże wzór wyprowadzić... metodą zaburzania. ∑(i=0 do n)(2ⁱ)+2ⁿ⁺¹=2⁰+∑(i=1 do n+1)(2ⁱ)=1+∑(i=0 do n)(2ⁱ⁺¹)=1+2∑(i=0 do n)(2ⁱ) ⇒ ⇒ ∑(i=0 do n)(2ⁱ)=2ⁿ⁺¹−1 Dygresja: łatwo dostrzec tę zależność dzięki dwójkowemu systemowi liczbowemu (który jest pozycyjny jak dziesiętny, tylko w podstawie jest 2). Np.: 111₂=2²+2¹+2⁰ 111₂+1=1000₂=2³ Zatem jak widać: 2²+2¹+2⁰+1=2³⇒2²+2¹+2⁰=2³−1, a ogólniej zachodzi ∑(i=0 do n)(2ⁱ)=2ⁿ⁺¹−1 Można też z ciągu geometrycznego, jak napisała Mila.

Marta: no i wszystko jasne, jeszcze raz bardzo dziękuje