całka wymierna Monika: Mam problem z pewną całką ∫ (2x+1) / (x²+x+2)² rozdzieliłam na dwie całki całkę z pierwszej, czyli ∫ ( 2x+2) / (x²+x+2)² obliczyłam bez problemu przez podstawienie ale zostaje drugi człon czyli −∫1/ (x²+x+2)² próbowałam wielu sposobów, ale wynik cały czas nie taki jak powinien być Proszę o pomoc. Może całą całkę robię źle, a może tylko drugą część.

jc:

	df		1
= ∫		= −		, gdzie f = x2 + x + 2
	f2		f

Monika: jeśli f=x²+x+2 to df=2x+1 dx więc chyba tak nie może być

jc: df = (2x+1) dx (bez nawiasu nie ma sensu) Porównaj z pierwszą całką (myślę, że zapomniałaś dx).

Mariusz: Tutaj akurat licznik jest pochodną trójmianu z mianownika ale jeśli chcesz liczyć całkę

	1
∫		dx to stosujesz redukcję
	(x2+x+2)2

	1		√7
Dla wygody możesz podstawić x+		=		t
	2		2

	√7
dx=		dt
	2

√7		1
	∫		dt
2		7   7   ( t2+ )2   4   4

8√7		1
	∫		dt
49		(t2+1)2

	1		1+t2		(−t)
∫		dt=∫		dt+∫t		dt
	(t2+1)2		(1+t2)2		(1+t2)2

	1		1		1	t		1		1
∫		dt=∫		dt+			−		∫		dt
	(t2+1)2		1+t2		2	1+t2		2		1+t2

	1		1	t		1		1
∫		dt=			+		∫		dt
	(t2+1)2		2	1+t2		2		1+t2

	1		1	t		1
∫		dt=			+		arctan(t)+C
	(t2+1)2		2	1+t2		2

Monika: Jak wpaść na to, by zrobić podstawienie x+1/2 = √7 / 2 t

Mariusz: Sprowadzasz trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej , dodatkowo chcesz aby wyraz wolny był jedynką bo wtedy nieco łatwiej wyprowadza się redukcję

Mariusz: Sprowadzanie trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej może być też przydatne gdybyś chciała w całkach ∫R(x,√ax²+bx+c)dx usunąć niewymierność z funkcji podcałkowej za pomocą podstawień cyklometrycznych (* x=asin(t) x=atg(t) x=asec(t)*) Chociaż ja proponuję do całek ∫R(x,√ax²+bx+c)dx podstawienia a>0 √ax²+bx+c=t−√ax a<0 Tutaj możesz założyć że b²−4ac>0 w przeciwnym przypadku trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem będzie przyjmował tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej i stosujesz podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Jest jeszcze jedno podstawienie które czasem może dawać całkę wymagającą mniej obliczeń Stosujesz je gdy c>0 √ax²+bx+c=xt+√c Powyższych podstawień możesz użyć do wymyślenia tzw podstawień uniwersalnych dla całek postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx Aby przejść do tych podstawień musisz jednak przećwiczyć całkowanie funkcji wymiernych