matematykaszkolna.pl
Metoda zaburzania Marta: Witam, proszę o sprawdzenie zadania. Uczę się do kolokwium i nie wiem czy dobrze to rozumiem. ∑(k=0 do n)k3 Rozwiązanie: ∑(k=0 do n)k4 + (n+1)4= 04 + ∑(k=1 do n+1)k4= ∑(k=0 do n)(k+1)4 =∑(k=0 do n)[(k+1)(k+1)(k+1)(k+1)] = =∑(k=0 do n)(k4+4k3+6k2+4k+1) = =∑(k=0 do n)k4 + 4∑(k=0 do n)k3 + 6∑(k=0 do n)k2 + 4∑(k=0 do n)k + ∑(k=0 do n)1= =∑(k=0 do n)k4 + 4Sn + 6∑(k=0 do n)k2 + 4∑(k=0 do n)k + ∑(k=0 do n)1 (n+1)4=4Sn+6∑(k=0 do n)k2+4∑(k=0 do n)k+∑(k=0 do n)1
 (0+n)n 
6∑(k=0 do n)k2=6*

=3n2
 2 
 (0+n)n 
4∑(k=0 do n)k=4*

=2n2
 2 
∑(k=0 do n)1=n+1
 n2 n2 
(n+1)4=4Sn+6*

+4*

+n+1
 2 2 
 −5n2−n−1+(n+1)4 
Sn=

 4 
26 mar 21:25
Pytający: Źle policzyłaś ∑(k=0 do n)k oraz ∑(k=0 do n)k2.
 0+n 
∑(k=0 do n)k = 0+1+2+3+...+n=

*(n+1) // jest to ciąg arytmetyczny o n+1 wyrazach
 2 
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%3D1+to+n+of+k ∑(k=0 do n)k2 = 0+1+4+9+..+n2 Nie jest to ciąg arytmetyczny, nie możesz więc użyć wzoru na sumę ciągu arytmetycznego. https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%3D1+to+n+of+k%5E2 Aby samemu dojść do tego wyniku możesz wykorzystać też metodę zaburzania, jak w ostatnim przykładzie tu: https://www.matematyka.pl/258562.htm Reszta wydaje się ok. Po poprawkach powinno Ci wyjść: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%3D1+to+n+of+k%5E3
26 mar 21:55
Marta: dziekuje bardzo za pomoc
26 mar 22:33
Mila: Sn=∑(k od 0 do n)k4 (*) Sn+1=∑(k od 0 do n+1)k4=Sn+(n+1)4 (**) Sn+1=04+∑(k od 1 do n+1)k4=∑(k od 0 do n)(k+1)4=∑(k od 0 do n)(k4+4k3+6k2+4k+1)= =Sn+4*∑(k od 0 do n)k3+6*∑(k od 0 do n)k2+∑(k od 0 do n)(4k+1) (*)=(**) (n+1)4=4*∑(k od 0 do n)k3+6*∑(k od 0 do n)k2+∑(k od 0 do n)(4k+1) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 n*(n+1)*(2n+1) 
1) ∑(k od 0 do n)k2=

 6 
 1+4n+1 
2)∑(k od 0 do n)(4k+1)=

*(n+1)=(2n+1)*(n+1)
 2 
============================================= 4*∑(k od 0 do n)k3=(n+1)4−n*(n+1)*(2n+1)−(n+1)*(2n+1) 4*∑(k od 0 do n)k3=(n+1)*(n3+3n2+3n+1−2n2−n−2n−1)
 (n+1)(n3+n2) 
∑(k od 0 do n)k3=

 4 
 n2*(n+1)2 
∑(k od 0 do n)k3=

 4 
=====================
27 mar 16:42
Mila:
27 mar 23:02