,.,. Pełcio: Witam! 1. Znajdź wszystkie liczby pierwsze, które są jednocześnie sumami i różnicami liczb pierwszych.

	5125−1
2. Wykaż, że ułamek		jest liczbą całkowitą złożoną.
	525−1

czy trzeba stosować wzór na różnicę 5 stopnia? 3. Wyznacz wszystkie wartości wymierne parametru a, dla którego funkcja f(x)= ax²+(a+1)x+a−1 ma wszystkie miejsca zerowe całkowite. 4. Podaj wszystkie pary liczb rzeczywistych (a,b) dla których funkcja f(x)= |x+a| + |x+b| jest parzysta. 5. Wyznacz przedział w którym wyrażenie √x−1+√x+24−10√x−1 ma stałą wartość. To zadanie proszę o sprawdzenie, bo niestety nie mam do nich odpowiedzi. √x−1=a, wtedy x= a²+1 czyli a+√a²+1+24−10a= a+|a−5| 1 a∊(−∞,5) −−−> a+5−a= 5 2 a∊(5,+∞) −−−> a+a−5= 2a−5 więc a∊(−∞,5) √x−1<5 ⇒ x∊(1,26)

Rafal: 1) Ta liczba jest oczywiście równa 5¹⁰⁰+5⁷⁵+5⁵⁰+5²⁵+1. Podstawmy t=5²⁵. Pierwszy pomysł? Znaleźć takie całkowite a,b,c,d,e,f, że t⁴+t³+t²+t+1=(at²+bt+c)(dt²+et+f). Ale niestety ten pomysł nie wypali, po współczynniki wychodzą niewymierne. Po chwili namysłu widzimy, że odpowiadałaby nam też równość t⁴+t³+t²+t+1=(at²+bt+c)²−(dt²+et+f)², ale to sprowadza się do tego, co wcześniej. Kombinujemy dalej i widzimy, że odpowiadałaby nam też równość t⁴+t³+t²+t+1=(at²+bt+c)²−kt(dt+e)², gdzie k=m²*t^2l+1, bo dla t=5²⁵ kt jest kwadratem jakiejś liczby całkowitej. Przyjmijmy na pałę, że taka równość może zachodzić dla k=5. A nuż się uda. jeszcze przed rozpisaniem prawej strony widzimy, że musi być a²=1 i c²=1. Znów przyjmijmy na pałę, że może być a=1 i c=1. Wówczas prawa strona jest po prostu równa (t²+bt+1)²−5t(dt+e)²=t⁴+b²t²+1+2bt³+2bt+2t²−5d²t³−10det²−5 e²t=t⁴+t³(2b−5d²)+t²(b²+2−10de)+t(2b−5e²)+1. Z porównania współczynników mamy 2b−5d²=1, b²+2−10de=1, 2b−5e²=1. Patrząc na pierwsze i trzecie równanie, widzimy, że d²=e². Znów przyjmijmy na pałę, że może być d=e>0. Wówczas drugie równanie przybiera postać b²−10d²=−1. Mnożąc pierwsze równanie przez 2, otrzymujemy 4b−10d²=2. Odejmując je od pierwszego, dostajemy, że b²−4b=−3, czyli b=1 lub b=3. Ponieważ z trzeciego równania 2b=1+5d², więc musi być b=3, co pociąga za sobą równości d=e=1. Ostatecznie t⁴+t³+t²+t+1=(t²+3t+1)−5t(t+1)².

Rafal: W ostatniej równości zjadłem kwadrat. undefined

Adamm: 1. p₁+p₂=p q₁−q₂=p suma liczb pierwszych może być pierwsza tylko wtedy gdy jedna z nich jest równa 2 2=p−p₁ teraz wiemy że p jest nieparzyste, q₂ musi być równe 2 2=q₁−p mamy 3 kolejne liczby pierwsze, p≥5 p−2, p, p+2 ponieważ mamy 3 kolejne liczby nieparzyste to co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 3 zatem p=5 jest jedyną taką liczbą

Pełcio: Dzięki Wam.