euler euler: Schemat Eulera o kroku h y₀=y(t₀) y_k+1=y_k+f(t_k, y_k)h, gdzie t_k+1=t₀+kh Zagadnienie: y'=y, y(0)=1, h=0,1. t₀=0 t₁=0+0h=0 t₂=0+1*h=0,1 t₃=0+2*h=0,2 tak?

piotr: raczej powinno być: t_k=t₀+kh

euler: Spotykam takie zapisy w schemacie Eulera t_k+1=t₀+kh t_k+1=t_k+h t_k=t₀+kh Ktory jest poprawny?

piotr: poprawne: t_k+1=t_k+h t_k=t₀+kh

euler: Dziekuje

euler: A jak mam takie zadanie: Uzywajac metody Eulera z krokiem h = 0,1 wyznacz przyblizona wartosc rozwiazania dla t = 1. y'=1+t−y, y(0) = 0 Czyli za t mam wstawic 1? Czyli nie liczyc juz zadnych t₁, t₂, itd. ? Jak to powinno wygladac?

piotr: y_k+1 = y_k + (1+k*t−y_k)*h

euler: Dlaczego k*t? t₀=0; y₀=0 f(t,y)=1+t−y f(t_k,y_k)=1+t_k−y_k

piotr: y_k+1 = y_k + (1+k*h−y_k)*h

piotr: t y 0 0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 1 1

euler: Skad to?

euler: y₀=0 y₁=y₀+(1+0*h−y₀)*h=0+1*h=0,1 y₂=y₁+(1+1*h−y₁)*h=0,1+(1+0,1−0,1)*0,1=0,1+1*0,1=0,1+0,1=0,2 y₃=y₂+(1+2*h−y₂)*h=0,2+(1+2*0,1−0,2)*0,1=0,2+1*0,1=0,2+0,1=0,3 itd. A co z tym t=1?

piotr: t=1 to punkt t₁₀ = 10*h = 1

'Leszek: @Piotr podal poprawne rozwiazanie , czyli y =t , Wykonaj nastepujace sprawdzenie analityczne: y ' = 1+t−y , y(0) = 0

	dy		du
podstawienie 1+t+y = u ,		= 1 −
	dt		dt

Otrzymujesz rownanie o rozdzielonych zmiennych:

du
	= dt
1−u

Po scalkowaniu ln(1−u) = − t +C Czyli u = 1 − C*e^−t Zatem y = t + C*e^−t, dla y(0)=0 ⇒C = 0 , ⇒ y = t

'Leszek: Sorry blad w druku , podstawienie : 1+t−y =u

euler:

	1
Czyli t=t10=t0+kh=0+10*		=1.
	10

Rozwiazanie zagadnienia poczatkowego to y(t)=t. Dla t=1: y(1)=1. Ze schematu Eulera: y₀=0 y₁=0,1 y₂=0,2 y₃=0,3 y₄=0,4 y₅=0,5 y₆=0,6 y₇=0,7 y₈=0,8 y₉=0,9 y₁₀=1 Zatem wartosc schematu Eulera dla t₁₀=1 wynosi y₁₀=1. Czyli odpowiada to prawdziwej wartosci rozwiazania. Dobrze?

euler: ?

'Leszek: Dobrze ,proponowalem Ci sprawdzenie ,metoda Eulera jest metoda numeryczna i uzywana jest w programowaniu , metoda analityczna moze sluzyc do spawdzenia .

euler: Dziekuje