miejsca zerowe pp: Prosiłbym o wytłumaczenie z ćwiczenia 4 skąd w funkcji W(x) biorą się tak dziwnie miejsca zerowe, nie rozumiem rozkładu 2x² −4x+1 . Proszę o pomoc http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/%C4%86wiczenia_7:_Funkcje_tworz%C4%85ce#cw_4

Jack: 2x² − 4x + 1 ? Δ = ... x₁ = ... x₂ = ... miales delte?

pp: miałem, wiem że głupie pytanie ale no ja bym rozpisał to tak 2(x−(2+√2)/2)(x−(2−√2)/2) pierwszy raz widze żeby miejsca zerowe zapisać przy x i tu wychodzi jakby było 2 razy pomnożone przez dwa bo pozbywa się mianownika a przecież liczba przy największej potędze równa się 2

Jolanta: Δ=8

	4+2√2		√2		√2
x1=		=1+		x2=1−
	4		2		2

	√2		√2
2(x−1−		)(x−1+		)
	2		2

pp: no to tak właśnie zrobiłem ale chodzi mi skąd ten zapis na tej stronie

Jolanta: to postać iloczynowa a(x−x₁)(x−x₂) patrząc na nia wiemy jakie są pierwiastki

Krzysiek: delta jest dla lamusów

pp: ja chyba nie wyraźnie piszę pozostaje mi życie w niewiedzy

Mila: Musisz wiedzieć po co taki rozkład iloczynowy . Masz ułamek algebraiczny przedstawić w postaci odpowiednich ułamków prostych, aby potem podać wzór jawny ciągu.

Mila: "w postaci sumy "

pp: wiem że jest potrzebny ale czy istnieje jakiś wzór do jego przedstawienia?, chyba nie piszę go bo tak

Mila: Nie miałeś ćwiczeń z tego tematu? Trudno mi odpowiedzieć tak ogólnie. Może wpisz zadanie, to jutro rozwiążemy.

pp: no niestety mój profesor zrobi przykład łatwy,a trudne zostawia nam, które się całkiem inaczej robi mam np taki przykład a₀=0, a₁=2, a₂=3 a_n=a_n−1 +a_n−2 n>=3

pp: tak samo nie wiem co robić jeśli we wzorze a_n mamy np = a_n−1 +2n−1 to nie wiem co z tym 2n−1 mam zrobić

Mila: a₀=0, a₁=2, a₂=3 a_n=a_n−1 +a_n−2 n>=3 x²−x−1=0 Δ=5

	1−√5		1+√5
x1=		lub x=
	2		2

ciąg jest postaci:

	1−√5		1+√5
an=A*(		)n+B*(		)n
	2		2

	1−√5		1+√5
a0=0=A*(		)0+B*(		)0⇔A+B=0⇔A=−B
	2		2

	1−√5		1+√5		1−√5		1+√5
a1=2=A*(		)1+B*(		)1⇔−B(		)+B*(		)=2⇔
	2		2		2		2

−B*(1−√5)+B*(1+√5)=4

	2√5		2√5
B=		, A=−
	5		5

	1+√5		1−√5
an=B*[(		)n−(		)n]
	2		2

	2√5		1+√5		1−√5
an=		*[(		)n−(		)n]
	5		2		2

Teraz sprawdź , czy się zgadza. Czy może masz to za pomocą funkcji tworzącej?

Mila: Drugie jutro. Inna metoda. Dobranoc.

pp: mam właśnie za pomocą funkcji tworzącej :3 jak coś to w tym drugim przykładzie a₀ =1 i n>=1

pp: dobranoc

Mila: Dobrze, jutro z funkcjami tworzącymi.

pp: mi za pomocą funkcji tworzących wychodzi inny wynik jakbyś mogła jeszcze ten pierwszy przykład przerobić żebym zobaczył jak to wygląda to byłbym wdzięczny

Mila: a_n=a_n−1 +a_n−2 a₀=0, a₁=2 a₂=a₁+a₀=2+0=2 ∑(n=0 do ∞)a_n*xⁿ=a₀+a₁*x+∑(n=2do∞)a_n−1xⁿ+∑(n=2do∞)a_n−2xⁿ A(x)=2x+x*∑(n=2do∞)a_n−1xⁿ⁻¹+x²*∑(n=2do∞)a_n−2xⁿ⁻²⇔ A(x)=2x+x*∑(n=1do∞)a_nxⁿ+x²*∑(n=0do∞)a_nxⁿ A(x)=2x+x*(A(x)−a₀)+x²*A(x) A(x)−x*A(x)−x²A(x)=2x A(x)*(1−x−x²)=2x

	2x
A(x)=
	1−x−x2

(1−x−x²)=(1−ax)*(1+bx)⇔(1−x−x²)=1+x*(−a−b)+abx² a*b=−1 i a+b=1

	1+√5		1−√5
a=		i b=
	2		2

2x		A		B
	=		+
1−x−x2		1+√5   1− x   2		1−√5   1− x   2

x=0

	1−√5		1+√5
2*0=A*(1−		*0)+B*(1−		*0)⇔A+B=0, A=−B
	2		2

x=1

	1−√5		1+√5
2=A*(1−		*1)−A*(1−		*1)
	2		2

	2
A=
	√5

	2		1+√5		2		1−√5
an=		*(		)n−		*(		)n
	√5		2		√5		2

	2		1+√5		1−√5
an=		*[(		)n−(		)n]
	√5		2		2

=================================

Mila: 2) a₀ = 1 , a_n = a_n−1 +2n −1 dla n>=1 ∑_{(0 do∞)}a_nxⁿ=a₀+∑_{(n=1 do ∞)}(a_n−1 +2n −1)xⁿ A(x)=1+∑_{(n=1 do ∞)}a_n−1xⁿ+2∑_{(n=1 do ∞n)}xⁿ−∑_{n=1 do∞)}xⁿ= =1+x∑_{(n=1 do ∞)}a_n−1xⁿⁿ⁻¹+2*(∑_{(n=0 do ∞n)}n*xⁿ)−2*0*x⁰−(∑_(n=0do∞)xⁿ−x⁰)}

	2		1
A(x)=1+x*A(x)+U{2}{(1−x)2−		−		+1
	1−x		1−x

	2		3
A(x)*(1−x)=2+		−
	1−x)2		1−x

	2		2		3
A(x)=		+		−
	1−x		1−x)3		(1−x)2

[m+1=3, m=2 oraz m+1=2 m=1] patrz wnioski 7.5 w podanym linku a_n=2+n²+3n+2−3*(n+1) a_n=n²+1, a₀=1, a₁=2, a₂=5, a₃=10 ====================== Spr. z wzorem rekurencyjnym: a_n = a_n−1 +2n −1 dla n>=1, a₀=1 a₁=a₀+2*1−1=1+2−1=2 a₂=a₁+2*2−1=2+4−1=5 a₃=a₂+2*3−1= 5+6−1=10