calki calka: Rozwazmy nastepujace zagadnienie poczatkowe na prostej y'(t)=−3t²y(t); y(0) = 1. a) Sformułowac twierdzenie Picarda−Lindelöfa, b) okreslic przedział [0; α] na którym równanie posiada dokładnie jedno rozwiazanie o wykresie zawartym w prostokacie [0; α]X[−7; 9].

calka: Jednak nie bardzo umiem to zrobic. Ktos moglby pokazac jak to rozwiazac?

krejzol: Przypomnij sobie twierdzenie Picarda... od tego trzeba zaczać. Jak jest skontruowany ciąg? x_n+1=x₀ + ∫f(x_n,t)dt

calka: twierdzenie Picarda−Lindelöfa

	df
Niech funkcje f(t,y) oraz		beda ciagle na prostokacie R={(t,y): t0≤t≤t0+a,
	dy

|y−y₀|≤b}.

	b
Oznaczmy przez M=max|f(t,y)| a przez α=min{a,		}. Wtedy zagadnienie y'=f(t,y), y(t0)=y0
	M

ma dokladnie jedno rozwiazanie na odcinku [t₀, t₀+α]. Jak je tu zastosowac?

mat: I jak teraz?

calka: jak zrobic to b) ?

calka: Moglby ktos pomoc?

calka: ?

calka: M=max|−3t²y(t)|=?

	b
α=min{a,		}=?
	M

Jak ustalic a i b?

calka: ?

krejzol: f(t,y)=−3t²y Gdzie jest spełiony warunkek lipschitza? |f(t,y₁)−f(t,y₂)|=|−3t²y₁ +3t²y₂|=3t²|y₁−y₂|≤3|y₁−y₂| dla t∊[0,1] M=sup|f(t,y)| =3*1² * 9 = 27 na [0,1] x [−7,9] y₀=1,t₀=0,b=8, a=1

	b		8		8
α=min(a,		)=min(1,		)=
	M		27		27

calka: Ok. Skad sie biora wartosci a i b?

calka: Nie rozumiem tego. Poprosilbym o wytlumaczenie.

calka: ?

krejzol: [t₀,t₀+a] [y₀−b,y₀+b] Mamy [0,1], czyli t₀=0, a=1 [−7,9], czyli y₀=1, b=8

calka: Dziekuje

calka: Ale skoro mam okreslic przedział [0; α] na którym równanie posiada dokładnie jedno rozwiazanie o wykresie zawartym w prostokacie [0; α]X[−7; 9] to 0≤t≤α.