ciąągi Ola: Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, a ich suma jest równa 35. Jeżeli od pierwszej liczby odejmiemy 2, od drugiej 3, a od trzeciej 9 to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te ciągi. Zapisuję równania, ale nie potrafię wyznaczyć z nich tych liczb >.<

Jack: "Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny" (zakładam, że kolejne) w takim razie jeśli nazwiemy je a,b,c to zachodzi równość b² = a * c (bo to jest główna własność ciągu geometr.) "a ich suma jest równa 35." zatem a + b + c = 35 i wiemy jeszcze, że "Jeżeli od pierwszej liczby odejmiemy 2, od drugiej 3, a od trzeciej 9 to otrzymamy ciąg arytmetyczny" a−2 , b−3, c−9 −>> arytm. zatem 2(b−3) = a−2+c−9 (wlasność ciągu arytm.) zatem mamy ukladzik {a+b+c=35 {2(b−3)=a−2+c−9 {b²=a*c

Jack: najprosciej to rozwiazac, w ten sposob, ze : z drugiego rownania 2(b−3) + 11 = a +c i podstawiamy te a+c do pierwszego, zatem 2(b−3) + 11 + b = 35 i stad mamy odrazu "b"

Janek191: a, aq, aq² − ciąg geometryczny q ≠ 0 1) a + a q + a q² = 35 a − 2, aq − 3 , a q² − 9 − ciąg arytmetyczny, więc 2) 2*( a q − 3) = a − 2 + a q² − 9 Z 1) ⇒

	35
a*( 1 + q + q2 ) = 35 ⇒ a =
	1 + q + q2

oraz z 2) 2a q − 6 = a q² + a − 11 a q² −2a q + a − 5 = 0 więc

35		35
	*( q2 − 2 q) +		− 5 = 0 / *( 1 + q + q2)
1 + q + q2		1 + q + q2

35 q² − 70 q + 35 − 5 − 5 q − 5 q² = 0 30 q² − 75 q + 30 = 0 / : 5 6 q² − 15 q + 6 = 0 Δ = 225 − 4*6*6 = 225 − 144 = 81 √Δ = 9

	15 − 9
q =		= 0,5 lub q = 2
	12

zatem

	35		35
a =		=		= 20
	1 + 0,5 + 0,25		1,75

lub

	35		35
a =		=		= 5
	1 + 2 + 4		7

Mamy dwa ciągi: 1) 20, 10, 5 2) 5, 10, 20

Janek191: ?

Eta: Omg a,b,c −−− szukane liczby 1/ a,b,c −− tworzą ciąg geom ⇒ b²=a*c i a+b+c=35 ⇒ a+c=35− b a−2, b−3,c−9 −−− tworzą ciąg arytm. ⇒ 2(b−3)=a+c−11 ⇒ 2b−6=24−b ⇒ b=10 to a+c=25 i a*c=100 ⇒ a=5 i c=20 lub a=20 i c=5 to: a=5, b=10, c=20 lub a=20, b=10, c=5 Pozdrawiam Janka191

Ola: Dziękuję

Janek191: Pozdrowienia dla Ety − mistrzyni krótkich rozwiązań

Eta: