funkcje tworzące biednyStudent: wykorzystując funkcje tworzące wyznacz rozwiązania równań rekurencyjnych (podaj postać funkcyjną a_n) a₀ = 0 a_n = a_n−1 +2n −1 dla n>=1

Pytający: Po drodze korzystam z wniosku 7.5: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/Wyk%C5%82ad_7:_Funkcje_tworz%C4%85ce a₀=0 a_n=a_n−1+2n F(x)=∑(n=0..∞)a_nxⁿ=a₀+∑(n=1..∞)(a_n−1+2n−1)xⁿ= =0+∑(n=1..∞)(a_n−1+2(n+1)−3)xⁿ= =∑(n=1..∞)a_n−1xⁿ+2∑(n=1..∞)(n+1)xⁿ−3∑(n=1..∞)xⁿ= =x∑(n=0..∞)a_nxⁿ+2([∑(n=0..∞)(n+1)xⁿ]−1)−3x∑(n=0..∞)xⁿ=

	2		3x
=xF(x)+		−2−		⇔
	(1−x)2		1−x

	2		3x
⇔ F(x)(1−x)=		−2−
	(1−x)2		1−x

	x(x+1)		1		3		2
F(x)=		=		−		+		=
	(1−x)3		1−x		(1−x)2		(1−x)3

	n+1 n		n+2 n
=∑(n=0..∞)xn−3∑(n=0..∞)		xn+2∑(n=0..∞)		xn=

	n+1 n		n+2 n
=∑(n=0..∞)(1−3		+2		)xn ⇒

	n+1 n		n+2 n		(n+1)(n+2)
⇒ an=1−3		+2		=1−3(n+1)+2		=1−3n−3+n2+3n+2=n2
					2

Mila: Chyba masz gdzieś drobną pomyłkę.

Pytający: Widzę, że nic się przed Tobą nie ukryje. Mam nadzieję, że tylko to: a_n=a_n−1+2n−1

Mila: Zupełnie przypadkowo zobaczyłam, w innym wątku pisałam to samo z innym warunkiem początkowym. Pozdrawiam

Pytający: Pozdrawiam również!