Zadanie maturalne Powracający: Udowodnij ze wyrazenie

	x−y		y−z		z−x
|		+		+		|
	x+y		y+z		z+x

gdzie x, y, z sa dlugosciami bokow trojkata jest a) mniejszse od 1

	1
b) mniejszse od
	8

czy zalozenie ze x, y, z sa dlugoswciami bokow trojkata jest w tym zadaniu istotne .

Lubięliczyć: Gdyby nie było istotne to by tego nie napisali. Zakładam że x+y>z wtedy można utworzyć trójkąt? Brakuje może z>x>y?

Powracający: Moze jescze ktos sie wypowie czas spac Dobranoc

Lubięliczyć: Kurcze nie mam pomysłu, chyba juz za pozno.. Dobranoc

relaa: Jeżeli x, y, z są długościami boków trójkąta to x, y, z > 0 x + y > z y + z > x x + z > y

	xyz
(x + y)(y + z)(x + z) > xyz ⇒ 1 >		.
	(x + y)(y + z)(x + z)

Dodatkowo z nierówności między średnimi mamy

x + y
	≥ √xy
2

y + z
	≥ √yz
2

x + z
	≥ √xz
2

(x + y)(y + z)(x + z)		1		xyz
	≥ xyz ⇒		≥
8		8		(x + y)(y + z)(x + z)

przy czym równość zachodzi dla x = y = z.

	x − y		y − z		z − x
|		+		+		| =
	x + y		y + z		z + x

	(x − y)(y − z)(z − x)
|		| <
	(x + y)(y + z)(z + x)

	xyz		1
|		| ≤		< 1.
	(x + y)(y + z)(z + x)		8

Powracający: dzieki Zastananwiam sie jak doszedles do tego

	x−y		y−z		z−x		x−y)(y−z)(z−x)
|		+		+		|= |		|
	x+y		y+z		z+x		(x+y)(y+z)(z+x)

Sprowadzanie do wspolnego mianownika to troche przerabane