Funkcja kwadratowa - dla K. Janek191: Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = x² − 2 x + m ma dwa różne miejsca zerowe x₁, x₂ takie, ze 7 x₂ − 4 x₁ = 47 ? 1) Δ = 4 − 4 m > 0 ⇔ m < 1

	−b
x1 + x2 =		= 2 ⇒ x2 = 2 − x1
	a

zatem 2) 7*(2 − x₁) − 4 x₁ = 47 14 − 7 x₁ −4 x₁ = 47 − 11 x₁ = 33 x₁ = − 3 więc x₂ = 2 − (−3) = 5 dlatego

	c
x1*x2 = −3* 5 = − 15 =		= m
	a

Odp. m = − 15 ============

Janek191: z. 2.265 Dla jakich wartości m funkcja f(x) = x² − m x + m + 3 ma dwa różne miejsca zerowe spełniające warunek x₁ = 1 + x₂ ? 1) Δ = m² − 4 m − 12 > 0 Δ₁ = 64 √Δ₁ = 8

	4 − 8
m =		= − 2 lub m = 6
	2

więc m ∊ ( −∞ , − 2) ∪ ( 6 , + ∞) 2) x₁ = 1 + x₂ ⇒ x₁ − x₂ = 1

	c
Z wzorów Viete'a x1 + x2 =		= m
	a

Mamy układ: x₁ − x₂ = 1 x₁ + x₂ = m ( ⇒ x₂ = m − x₁ ) −−−−−−−−−− dodajemy stronami 2 x₁ = m + 1

	m +1
x1 =
	2

więc

	2 m		m + 1		m − 1
x2 = m − x1 =		−		=
	2		2		2

oraz

	m +1		m − 1		m2 − 1		c
x1*x2 =		*		=		=		= m + 3 / * 4
	2		2		4		a

m² − 1 = 4 m + 12 m² − 4 m − 13 = 0 Δ₂ = 16 + 52 = 68 = 4*17 √Δ₂ = 2√17 więc

	4 − 2√17
m =		= 2 − √17 lub m = 2 + √17
	2

Oba spełniają warunek m ∊ ( − ∞, −2) ∪ ( 6, +∞) Odp. m = 2 − √17 lub m = 2 + √17 =================================

Janek191: z. 2.267 Dla jakich wartości m rozwiązania równania x² − 12 x + m = 0 spełniają warunek x₂ = x₁ + 2√5 ? 1) Δ = 144 − 4 m > 0 ⇔ m < 36 2) x₂ − x₁ = 2√5

	− b
x2 + x1 =		= 12 ( z wzoru Viete'a)
	a

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− dodajemy stronami 2 x₂ = 2 √5 + 12 / : 2 x₂ = √5 + 6 więc x₁ = x₂ − 2√5 = √5 + 6 − 2√5 = 6 − √5 oraz

	c
x1*x2 = ( 6 − √5)*( 6 + √5) = 36 − 5 = 31 =		= m < 36
	a

Odp. m = 31 ===========

Janek191: z. 2,268 Dla jakich wartości m suma kwadratów rozwiązań równania x² + ( m −2) x − m − 1 = 0 jest najmniejsza ? 1) Δ = m² − 4 m + 4 − 4*( − m − 1) = m² + 8 > 0 dla m ∊ ℛ

	−b		c
2) x12 + x22 = (x1 + x2)2 −2 x1*x2 = (		)2 − 2*		= ( 2 − m)2 + 2 m +2
	a		a

f(m) = 4 − 4 m + m² + 2m + 2 = m² − 2m + 6

	2
m = p =		= 1
	2*1

Odp. m = 1 ========== spr. f(1) = 5 = x₁² + x₂² = (−1)² + 2²

Janek191: z.2. 269 Dla jakich wartości m suma kwadratów rozwiązań równania x² − m x + m² − 3 m − 2 = 0 jest największa ? 1) Δ = m² − 4*( m² −3 m − 2) = m² − 4 m² + 12 m + 8 = − 3 m² + 12 m + 8 > 0 Δ₁ = 144 − 4*(−3)*8 = 144 + 96 = 240 = 16*15 √Δ₁ = 4√15

	− 12 − 4√15		2		2
m =		= 2 +		√15 lub m = 2 −		√15
	−6		3		3

	2		2
m ∊ ( 2 −		√15) , 2 +		√15)
	3		3

2) x₁² + x₂² = ( x₁ + x₂)² − 2 x₁*x₂ = m² − 2*(m² −3 m − 2) = − m² + 6 m + 4 f(m) = − m² + 6 m + 4 Szukamy takiego m , aby f przyjmowało największą wartość q = f(p)

	− 6
m = p =		= 3
	−2

Odp. m = 3 ========== spr. Dla m = 3 równanie ma postać x₂ − 3 x − 2 = 0 więc x₁² + x₂² = (−3)² − 2*(−2) = 9 + 4 = 13 oraz f(3) = − 3² + 6*3 + 4 = 13

Janek191: Dla jakich wartości parametru m równanie x² − 2*( m +1) x + 2 m² + 3m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatenie ? 1) Δ > 0 2) x₁ + x₂ > 0 i x₁*x₂ > 0 Δ = 4( m +1)² − 4*(2 m² + 3 m + 1) = − 4 m² − 4 m = − 4m*( m +1) > 0 ⇔ ⇔ m ∊ ( −1 , 0) −−−−−−−−−−−−

	−b
x1 + x2 =		= 2 m + 2 > 0 ⇔ m > − 1
	a

	c
x1*x2 =		= 2 m2 + 3m + 1 > 0
	a

Δ₁ = 9 − 4*2*1 = 1

	− 3 − 1		− 3 + 1
m =		= − 1 lub m =		= − 0,5
	4		4

m ∊ ( − ∞ , −1) ∪ ( −0,5, +∞) Z tych 3 warunków wynika odpowiedź:

	1
Odp. m ∊ ( −		, 0)
	2

====================

Janek191: z.2.273 Dla jakich wartości parametru m wartości funkcji f(x) = (2 m + 1) x² + ( m−1) x + 3m są dla każdego x ∊ℛ mniejsze od odpowiednich wartości funkcji g(x) = (1 − m) x + 3 ? Musimy rozwiązać nierówność f(x) < g(x) ⇔ f(x) − g(x) < 0 czyli (2 m + 1) x² + ( m −1) x + 3 m − ( 1 − m) x − 3 < 0 ( 2m + 1) x² + 2*( m −1) x + 3 m − 3 < 0 To zachodzi wtedy, gdy

	1
1) 2 m + 1 < 0 ⇒ m < −
	2

i

	− Δ
2) q =		< 0
	4 a

Δ = 4*( m² − 2m + 1) − 4*(2 m + 1)*( 3m − 3) = − 20 m² + 4 m + 16

20 m2 − 4 m − 16
	< 0 ⇔ 5 m2 − m − 4 > 0 ( bo 2 m + 1 < 0 )
4*( 2 m + 1)

Δ₁ = 1 − 4*5*(−4) = 81

	1 − 9		4
m =		= −		lub m = 1
	10		5

więc

	4
m ∊ ( −∞ , −		) ∪ (1 , +∞)
	5

	1
oraz z 1) m ∊ ( − ∞, −		)
	2

	4		1
m ∊ [ ( − ∞, −		) ∪ (1, +∞) ] ∩ ( − ∞ , −		)
	5		2

	4
m ∊ ( − ∞ , −		)
	5

===================

Janek191: 2.274 Dla jakich wartości parametru m wartości funkcji f(x) = ( m − 1) x² + (2 − 2m) x + m − 2 są dla każdego x ∊ℛ większe od odpowiednich wartości funkcji g(x) = (2 − 3m) x − 2 ? Rozwiązujemy nierówność ( m −1) x² + ( 2 − 2m) x + m − 2 > (2 − 3 m) x − 2 ( m −1) x² + ( 2 − 2m − 2 + 3 m) x + m > 0 ( m −1) x² + m x + m > 0 To zachodzi, gdy 1) m − 1 > 0 ⇒ m > 1 i

	− Δ
2) q =		> 0
	4 a

Δ = m² − 4*( m −1)*m = m² − 4 m² + 4 m = −3 m² + 4m więc

3 m2 − 4m
	> 0 ⇔ 3m2 − 4 m > 0 ( bo 4*( m −1) > 0 )
4 m − 4

m*( 3 m − 4) > 0

	4
m ∊ ( −∞, 0) ∪ (		,+∞)
	3

Z 1) i 2) mamy Odp.

	4
m ∊ (		, +∞)
	3

==============

Janek191: z. 5.75 Wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x + 3) daje reztę 6, a przy dzieleniu przez (x − 2) daje resztę 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = ( x − 2)*(x + 3) Wielomian W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*( x − 2)*(x + 3) + a x + b Reszty z dzielenia W(x) przez (x + 3) i przez (x − 2) są równe W(−3) = V(x)*(− 5)*0 − 3a + b = − 3 a + b = 6 W(2) = V(x)*0*5 + 2a + b = 2 a + b = 1 Mamy zatem układ równań − 3 a + b = 6 2 a + b = 1 −−−−−−−−−−−− odejmujemy stronami 5a = − 5 a = − 1 −−−−−−− b =− 2*(−1) +1 = 3 −−−−−−−−−−−−−−− więc W (x ) = V(x)*( x − 2)*( x + 3) − x + 3 zatem reszta z dzielenia W(x) przez ( x − 2)*(x + 3) jest równa ( − x + 3 )

Janek191: z.5.76 Wielomian W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*(x − 4)*(x − 2) +a x + b Reszty z dzielenia W(x) przez (x − 4) i przez (x − 2) są równe odpowiednio W(4) = 4 a + b = 7 W(2) = 2 a + b = 3 Mamy układ równań 4 a + b = 7 2 a + b = 3 −−−−−−−−− odejmujemy stronami 2 a = 4 a = 2 −−−− b = − 1 −−−−− Reszta z dzielenia W(x) przez P(x) = ( x − 4)*(x − 2) jest równa a x + b , czyli (2 x − 1). −−−−−−−−−−−−−

Janek191: z.5.77 (x + 2)*( x + 1) = x² + 3 x + 2 Wielomian W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*( x + 2)*(x + 1) + a x + b Reszty z dzielenia tego wielomianu przez (x + 2) i ( x + 1) odpowiednio są równe W(− 2) = −2 a + b = 8 W( − 1) = − a + b = − 4 Mamy układ równań −2 a + b = 8 − a + b = − 4 −−−−−−−−−−− odejmujemy stronami a = − 12 więc b = − 16 zatem reszta z dzielenia W(x) przez x² +3 x + 2 jest równa −12 x − 16.

Janek191: z. 5.78 (x − 5)*( x + 3) = x² − 2 x − 15 Wielomian W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*( x − 5)*( x +3) + a x + b Reszty z dzielenia W(x) przez (x − 5) i ( x + 3) są odpowiednio równe W(5) = 5 a + b = 1 W(−3) = −3 a + b = − 7 Mamy układ równań 5 a + b = 1 −3 a + b = − 7 −−−−−−−−− odejmujemy stronami 8 a = 8 a = 1 −−−− więc b = − 4 −−−−− zatem reszta z dzielenia W(x) przez P(x) = x² − 2 x − 15 jest równa R(x ) = x − 4. −−−−−−−−−−−−−−

Janek191: z. 5.79 Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany: ( x +1), ( x + 2), (x −1) daje reszty odpowiednio równe 2, 3, 6. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = (x + 1)*(x + 2)*( x −1). Wielomian W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*( x + 1)*(x + 2)*( x − 1) + a x² + b x + c Reszty z dzielenia W(x) przez (x + 1), (x + 2) , (x − 1) są równe odpowiednio W(−1) = a − b + c = 2 W( − 2) = 4 a − 2 b + c =3 W(1) = a + b + c = 6 Od 1) odejmujemy 3) −2 b = − 4 b = 2 ==== Mamy układ 1) a − 2 + c = 2 2) 4 a − 4 + c = 3 3) a + 2 + c = 6 Od 2 ) odejmujemy 3) 3 a − 6 = − 3 3 a = 3 a = 1 ==== zatem 1 − 2 + c = 2 c = 3 ===== Reszta jest równa R(x) = x² +2 x + 3 ==============================

Janek191: z. 5.80 Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany : (x − 2), ( x + 4) daje reszty odpowiednio równe −3 oraz −51 . Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = x³ +3 x² − 6 x − 8, wiedząc, że W( − 1) = 0 ( x − 2)*( x + 4)*( x + 1) = x³ +3 x² − 6 x − 8 = P(x) więc wielomian W(x) mozna zapisać w postaci W(x) = V(x)*( x − 2)*( x + 4)*( x + 1) + a x² + b x + c Reszty z dzielenia W(x) przez ( x − 2), ( x + 4), (x + 1) są równe odpowiednio 1) W( 2) = 4 a + 2 b + c = − 3 2) W(− 4) = 16 a − 4 b + c = − 51 3) W( −1) = a − b + c = 0 ⇒ b = a + c Mamy 4a + 2 a + 2c + c = − 3 16a −4 a − 4 c + c = − 51 6 a +3 c = − 3 12 a −3 c = − 51 −−−−−−−−−−− dodajemy stronami 18 a = − 54 / : 18 a = − 3 ===== b = c − 3 4*(−3) + 2 c − 6 + c = − 3 −12 + 3 c = 3 3 c = 15 c = 5 ==== b = 5 − 3 = 2 ========= Reszta z dzielenia W(x) przez P(x) jest równa R(x) = −3 x² +2 x + 5

Janek191: z. 5.81 Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumiany ( x + 2), ( x − 5) daje reszty odpowiednio równe 15 oraz 8. Wyznacz resztę z dzielenia W(x) przez P(x) = x³ − 4 x² − 7 x + 10, wiedząc, że W( 1) = 0 Mamy (x + 2)*(x − 5)*(x − 1) = x³ − 4 x² − 7 x + 10 = P(x) Wielomian W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*(x + 2)*(x − 5)*( x − 1) + a x² + b x + c Reszty z dzielenia W(x) przez ( x + 2), ( x − 5) i ( x − 1) są równe W( − 2) = 4 a − 2 b + c = 15 W( 5) = 25 a + 5 b + c = 8 W( 1) = a + b + c = 0 ⇒ c = − a − b −−−−−−−−−−−−−−−−− 4a − 2 b − a − b = 15 25 a + 5 b − a − b = 8 −−−−−−−−− 3a −3 b = 15 / : 3 ⇒ a − b = 5 ⇒ b = a − 5 24 a + 4*( a − 5) = 8 −−−−−−−− 28 a = 28 a = 1 b = − 4 c = 3 Reszta z dzielenia W(x) przez P(x) jest równa R(x) = x² − 4 x + 3

Janek191: z. 5.82 Reszta z dzielenia W(x) przez trójmian kwadratowy P(x) = x² + 2 x − 3 jest równa R(x) = 2 x + 5. Wyznacz resztę z dzielenia W(x) przez dwumian (x − 1). P(x ) = x² +2 x − 3 = ( x + 3)*(x − 1) W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*(x + 3)*( x − 1) + 2 x + 5

	2 x + 5
Dzielimy W(x) przez (x − 1) otrzymamy V(x)*(x + 3) +
	x − 1

Reszta z dzielenia (2 x + 5) przez ( x − 1) jest równa R(x) = W(1) = 2*1 + 5 = 7 Odp. R(x) = 7

Janek191: z. 5.83 Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez P(x) = x² + 2 x − 8 jest równa R(x) = − 5 x + 2. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian ( x + 4). P(x) = ( x − 2)*(x + 4) Wielomian W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*(x − 2)*(x + 4) − 5 x + 2

	− 5 x + 2
Dzieląc W(x) przez ( x + 4) otrzymamy V(x)*( x − 2) +
	x + 4

Reszta z dzielenia ( − 5 x + 2) przez (x + 4) jest równa − 5*(−4) + 2 = 22.

Janek191: z. 5.84 Reszta z dzielenia W(x) przez P(x) = x³ − 1 jest trójmianem kwadratowym R(x) = 2 x² − 3 x − 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian ( x − 1). Mamy P(x) = x³ − 1 = (x −1)*( x² + x + 1) więc wielomian W(x) można zapisać w postaci W(x) = V(x)*( x² + x + 1)*(x − 1) + 2 x² −3 x − 1

	2 x2 − 3 x − 1
Dzieląc W(x) przez (x − 1) otrzymamy V(x)*( x2 + x + 1) +
	x − 1

Reszta z dzielenia ( 2x² − 3 x − 1) przez ( x − 1) jest równa 2*1² − 3*1 − 1 = − 2

Janek191: z.5.85 Reszta z dzielenia W(x) przez P(x) = x³ + 8 jest wielomianem R(x) = 3 x² − 5 x + 2. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez ( x + 2). Mamy P(x) = x³ + 8 = ( x + 2)*( x² − 2 x + 4) Wielomian W(x) można zapisać W(x) = V(x)*( x + 2)*( x² − 2 x + 4) + 3 x² − 5 x + 2

	3 x2 − 5 x + 2
Dzieląc W(x) przez ( x + 2) otrzymujemy V(x)*(x2 −2 x + 4) +
	x + 2

Reszta z dzielenia ( 3 x² − 5 x + 2) przez ( x + 2) jest równa 3*(−2)² − 5*(−2) + 2 = 3*4 + 10 + 2 = 24 Odp. 24. ======== z. 5.86 Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez P(x) = x⁴ + 2 x² − 3 jest wielomianem R(x) = x³ − 2 x² + x + 2. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez F(x) = x² −1. Mamy P(x) = (x² − 1)*( x² + 3) zatem można zapisać W(x) w postaci W(x) = V(x)*(x² − 1)*(x² + 3) + x³ −2 x² + x + 2

	x3 − 2 x2 + x + 2
Dzieląc W(x) przez F(x) otrzymujemy V(x)*(x2 + 3) +
	x2 − 1

Janek191: cd. Można więc zapisać x³ −2 x² + x + 2 = G(x)*( x −1)*(x + 1) + a x + b Dla x = 1 mamy 1 − 2 + 1 + 2 = a + b ⇒ a + b = 2 Dla x = − 1 mamy −1 − 2 − 1 + 2 = − a + b ⇒ −a + b = − 2 czyli po dodaniu stronami otrzymujemy 2 b = 0 ⇒ b = 0 a = 2 − b = 2 Reszta z dzielenia W(x) przez F(x) jest równa 2 x. =========================================

Janek191: z. 5.87 Reszta z dzielenia W(x) przez P(x) = x⁴ + x³ −3 x² − 4 x − 4 jest równa R(x) = x³ − 5 x + 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez F(x) = x² − 4. Mamy P(x) = x⁴ + x³ − 3 x² −4 x − 4 = (x² − 4)*(x² + x + 1) Wielomian W(x) można więc zapisać w postaci W(x) = V(x)*(x² − 4)*(x² + x + 1) + x³ − 5 x + 1 Dzieląc W(x) prze F(x) = x² − 4 otrzymamy

	x3 − 5 x + 1
V(x)*(x2 + x + 1) +
	x2 − 4

oraz x³ −5 x + 1 można zapisać x³ −5 x +1 = G(x)*(x −2)*(x + 2) + a x + b Dla x = 2 mamy 8 − 10 + 1 = 2a + b ⇒ 2 a + b = − 1 Dla x = − 2 mamy − 8 + 10 + 1 = − 2a + b ⇒ −2 a + b = 3 Po dodaniu stronami otrzymujemy 2 b = 2 ⇒ b = 1 2 a = −1 − b = − 1 − 1 = − 2 a = − 1 dlatego reszta z dzielenia W(x) przez F(x) jest równa ( − x + 1 ). ==================================================== z.5.88 Dla jakich wartości parametrów a, b reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez P(x) jest równa R(x), gdy : a) W(x) = x³ +4 x² +a x + b , P(x) = x² +3 x +2, R(x) = − 10 x − 1 Można zapisać W(x) = V(x)*P(x) + R(x). czyli x³ +4 x² +a x + b = V(x)*(x +1)*(x + 2) − 10 x − 1 Mamy W(−1) = − 1 + 4 − a + b = −10*(−1) − 1 ⇒ − a + b + 3 = 9 W(−2) = − 8 + 16 −2 a + b = − 10*(−2) − 1 ⇒ − 2 a + b + 8 = 19 Odejmując stronami otrzymujemy a − 5 = − 10 a = − 5 ===== b = 6 + a = 6 − 5 = 1 ================

wariat: Dom wariatów.

Mati: Co tu się dzieje?

Janek191: z. 5.89 Dla jakich wartości a, b wielomian W(x) jest podzielny przez P(x), jeżeli: a) W(x) = x⁴ − 2 x 3 3 + a x² − 3 x + b P(x) = x² − 3 x + 3 Wykonujemy dzielenie: (x⁴ − 2 x³ +a x² −3 x + b) : ( x² −3 x − 3) = x² + x + a − x⁴ +3 x³ − 3 x² −−−−−−−−−−−−−− x³ + ( a −3) x² −3 x + b − x³ + 3 x² − 3 x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a x² − 6 x + b − a x² +3a x −3 a −−−−−−−−−−−−−−− ( 3a − 6) x + ( b −3 a) Reszta musi być równa 0, więc 3 a − 6 = 0 ⇒ a = 2 b − 3 a = 0 ⇒ b − 6 = 0 ⇒ b = 6 Odp. a = 2 b = 6 ==================

Janek191: d) W(x) = x⁴ − 3 x³ + 3 x² − a x + 2 P(x) = x² − 3 x + b Wykonujemy dzielenie: (x⁴ − 3 x³ + 3 x² − a x + 2) : ( x² −3 x + b) = x² + 3 − b −x⁴ + 3 x³ − b x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ( 3 − b) x² −a x + 2 − ( 3 − b) x² + 3*(3 − b) x − 3 b + b² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ( 9 − 3 b − a ) x − 3b + b² + 2 Reszta musi być równa 0, więc b² − 3 b + 2 = 0 ⇒ ( b − 1)*(b − 2) = 0 ⇒ b = 1 lub b = 2 9 −3 b − a = 0 ⇒ a = 9 − 3b a =9 − 3*1 = 6 lub a = 9 − 3*2 = 3 Odp. a = 6 i b = 1 lub a = 3 i b = 2 ===============================================

Janek191: z.5.90 Podaj przykład takiego wielomianu W(x) , aby w wyniku podzielenia go przez P(x) = x² + 3 x + 1 otrzymać resztę , która jest wielomianem stopnia zero. Np. W(x) = x² + 3 x + 2 ==================== z.5.91 Podaj przykład wielomianu W(x) stopnia piątego, który w wyniku podzielenia go przez P(x) = x³ −1 daje resztę będącą wielomianem stopnia pierwszego/ Np. W(x) = 2 x⁵ − 2 x² + x + 1 ===========================

Janek191: z.5.92 Podaj przykład takiego wielomianu W(x) stopnia szóstego, który w wyniku podzielenia przez P(x) = 2 x³ + 8 daje resztę będącą wielomianem stopnia drugiego. Np. W(x) = 2 x⁶ + 6 x³ + 2 x² + x − 15 ================================= W(x) = ( 2 x³ + 8)*(x³ − 2) + ( 2 x² + x + 1)

Janek191: z.5.101 Wyznacz wartość parametru a tak, by liczba r była pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli, a) W(x) = x⁴ − x³ + a x − 2 r = 1 Ma być W(r) = 0, więc 1⁴ − 1³ + a*1 − 2 = 0 a − 2 = 0 a = 2 ====

	1
f) W(x) = a x3 − x2 + 3 x − 1 r =
	3

	1
Ma być W(		) = 0
	3

	1		1
a*		−		+ 1 − 1 = 0 / * 27
	27		9

a − 3 = 0 a = 3 ===== z. 5.102 Wyznacz wartości parametrów a i b, dla których liczby r₁ i r₂ są pierwiastkami wielomianu W(x), jeśli : a) W(x) = x³ + a x² − 4 x + b r₁ = − 3 r₂ = 2 Mamy W(−3) = − 27 + 9 a + 12 + b = 9 a + b − 15 = 0 W(2 ) = 8 + 4 a − 8 + b = 4 a + b = 0 Mamy układ równań: 9 a + b = 15 4 a + b = 0 −−−−−−−− odejmujemy stronami 5 a = 15 ⇒ a = 3 b = −4 a = − 4*3 = − 12 Odp. a = 3, b = − 12 ==================== d)

	1
W(x) = a x3 − x2 −12 x + b r1 = − 2 r2 =
	3

Mamy W(−2) = − 8 a − 4 + 24 + b = − 8 a + b + 20 = 0

	1		1		1		a		37
W(		) =		a −		− 4 + b =		+ b −		= 0
	3		27		9		27		9

− 8 a + b = − 20 ⇒ b = 8 a − 20

a		37
	+ 8 a − 20 −		= 0 / * 27
27		9

a + 216 a − 540 − 111 = 0 217 a = 651 / : 217 a = 3 b = 8*3 − 20 = 4 Odp. a = 3, b = 4 ================

Janek191: z.5.103 Podaj wszystkie pierwiastki ( o ile istnieją ) wielomianu W(x), jeśli : a) W(x) = ( x − 1)*(x + 4)*x x − 1 = 0 ⇒ x = 1 x + 4 = 0 ⇒ x = − 4 x = 0 Odp. − 4, 0, 1 ============= c) W(x) =( 2 x² + 1)*(x² + 3)*(1 −2 x) x² ≥ 0 ⇒ 2 x² + 1 > 0 i x² + 3 > 0

	1
1 −2 x = 0 ⇔ x =
	2

	1
Odp.
	2

=========== f) W(x) = ( − x² +3 x − 8)*(5 x² + 25)*(x² + 1) 5 x² +25 > 0 i x² + 1 > 0 − x² + 3 x − 8 = 0 Δ = 9 − 4*(−1)*(−8) = 9 − 32 < 0 Odp. Brak pierwiastków rzeczywistych. ===============================

Janek191: z.5.104 Wyznacz zbiór liczb wymiernych , które mogą być pierwiastkami wielomianu W(x), jeśli : a) W(x) = 2 x³ + 6 x² − 3 x + 1 Korzystamy z twierdzenia: Jeżeli wielomian W(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + ... + a_n xⁿ o współczynnikach

	p
całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego		, to
	q

p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀, a q jest dzielnikiem współczynnika a_n przy najwyższej potędze zmiennej. Mamy p ∊ { − 1, 1} q ∊ { − 2, − 1, 1, 2} więc

p		1		1
	∊ { −		,		}
q		2		2

	1		1
Odp. −		,
	2		2

=================== d) W(x) = 2 x³ − x² + 7 x − 3 Mamy p ∊ { − 3, − 1, 1, 3} q ∊ { −2, − 1, 1 , 2} więc

p		3		1		1		3
	∊ { − 3, −		, − 1, −		,		, 1,		, 3 }
q		2		2		2		2

Janek191: z. 5.105 Wyznacz wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu W(x), jeśli : a) W(x) = 3 x³ + x² − 6 x − 2 Mamy p ∊ { − 2, − 1, 1, 2} q ∊ { − 3, − 1, 1, 3} więc

p		2		2		1		1		1
	∊ { − 2, −		,		, 2,		, 1, − 1, −		,		}
q		3		3		3		3		3

Sprawdzamy kolejno która z tych liczb jest pierwiastkiem danego wielomianu: np. W(− 2) = 3*(−8) + 4 + 12 − 2 = − 10 nie

	1		1		1
W(−		) = 3*(−		) +		+ 2 − 2 = 0 tak
	3		27		9

	1
Odp. −
	3

============ Ten sposób jest bardzo czasochłonny, więc lepiej stosować inne sposoby np. W(x) = 3 x³ + x² − 6 x − 2 = x² *( 3 x + 1) − 2*( 3 x + 1) = (x² − 2)*( 3 x + 1) = 0

	1
⇔ x = −		− pierwiastek wymierny
	3

Janek191: z.5.108 Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian W(x) jest podzielny przez podany obok dwumian, jeśli : d) W(x) = x⁶ +2 x⁵ −3 x² − 6 x; x + 2 Z tw. Bezout'a mamy W( − 2) = ( −2)⁶ + 2*(−2)⁵ − 3*(−2)² − 6*(−2) = 64 − 64 − 12 + 12 = 0 więc W(x) jest podzielny przez x + 2. z.5.109 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których wielomian W(x) jest podzielny przez podany obok dwumian, jeśli : a) W(x) = 3 x³ −2k x² + ( k +1) x + 4; x − 2 Mamy W(2) = 3*8 − 8 k + 2 k + 2 + 4 = 30 − 6k = 0 ⇔ k = 5 d) W(x) = x³ − k x² − ( k² + 3) x − 4; x − 4 Mamy W(4) = 64 − 16 k − 4 k² − 12 − 4 = − 4 k² − 16 k + 48 = 0 ⇔ k² + 4 k − 12 = 0 Δ = 64 k = − 6 lub k = 2 ================

Janek191: z.5.110 Wykaż, że dla każdego n ∊ℕ+ wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x − r), jeśli: a) W(x) = n x^{n +1} − ( n −1) xⁿ − 1, r = 1 Mamy W(1) = n*1ⁿ⁺¹ − ( n −1)*1ⁿ − 1 = n − ( n −1) − 1 = 0, więc W(x) dzieli się przez x − 1.

Janek191: z. 5.112 Wykaż,że liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), a następnie wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu ( o ile istnieją ), jeśli : d) W(x) = x³ + 5 x² + 5 x + 25; r = − 5 Mamy W( − 5) = − 125 + 125 − 25 + 25 = 0 oraz W(x) = x²*( x + 5) + 5*( x + 5) = ( x + 5)*( x² + 5) = 0 ⇔ x = − 5 gdyż x² + 5 > 0 dla x ∊ℛ Nie ma innych pierwiastków.

Janek191: z. 5.113 a) W(x) = x⁵ +2 x⁴ +2 x³ + 4 x² −3 x − 6 ; r = − 2 Mamy W(−2) = − 32 + 32 − 16 + 16 + 6 − 6 = 0 oraz W(x) = x⁴*( x + 2) + 2 x²*( x + 2) − 3*( x + 2) = ( x + 2)*( x⁴ +2 x² − 3) = = (x + 2)*( x² − 1)*(x² + 3) = (x + 2)*(x − 1)*( x + 1)*(x² + 3) x² + 3 > 0 Pozostałe pierwiastki : −1 , 1 ========================

Janek191: z. 5.114 Wykaż,że liczby r₁ i r₂ są pierwiastkami wielomianu W(x). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu ( o ile istnieją ) , jeśli : d) W(x) = 2 x⁴ − 9 x³ + 12 x² − 9 x + 10; r₁ = 2 r₂ = 2,5 Mamy W(2) = 32 − 72 + 48 − 18 + 10 = 0

	5		625		125		25		5
W(		) = 2*		− 9*		+ 12*		− 9*		+ 10 =
	2		16		8		4		2

=

Janek191: cd.

	625		1125		600		180		80
=		=		+		−		+		= 0
	8		8		8		8		8

więc 2 i 2,5 są pierwiastkami danego wielomianu. ( x − 2)*(x − 2,5) = x² − 4,5 x + 5 Wykonujemy dzielenie ( 2 x⁴ − 9 x³ + 12 x² − 9 x + 1)) : ( x² − 4,5 x + 5) = 2 x² + 2 > 0 dla x ∊ ℛ. Nie ma innych pierwiastków.

Janek191: z.5.115 Liczba r jest pierwiastkiem W(x). Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu, jeśli : d)

	1
W(x) = 4 x3 + 5 x2 + a x − 2; r = −
	4

Mamy

	1		1		1		1		4		32		1
W( −		) = −4*		+ 5*		−		a − 2 =		−		−		a = 0
	4		64		16		4		16		16		4

	1		28
−		a −		= 0 / * 16
	4		16

− 4 a = 28 a = − 7 −−−− W(x) = 4 x³ + 5 x² − 7 x − 2 Wykonujemy dzielenie

	1
( 4 x3 + 5 x2 − 7 x − 2) : ( x +		) = 4 x2 + 4 x − 8 = 4*(x2 + x − 2)
	4

x² + x − 2 = 0 ( x + 2)*(x −1) = 0 x = − 2 lub x = 1 Odp. − 2 , 1 ========== ===============

Janek191: z.5.116 Liczby r₁ i r₂ są pierwiastkami wielomianu W(x). Znajdź trzeci pierwiastek w(x), jeśli: a) W(x) = x³ +a x² − b x + 6, r₁ = 1, r₂ = 2 Mamy W(1) = 1 + a − b + 6 = a − b + 7 = 0 W(2) = 8 + 4 a − 2 b + 6 = 4 a − 2 b + 14 = 0 więc b = a + 7 4 a − 2*( a + 7) = − 14 4 a − 2 a − 14 = − 14 2a = 0 a = 0 b = 0 + 7 = 7 czyli W(x) = x³ − 7 x + 6 oraz ( x − 1)*(x − 2) = x² − 3 x + 2 Wykonujemy dzielenie: ( x³ − 7 x + 6) : ( x² −3 x + 2) = x + 3 x + 3 = 0 ⇔ x = − 3 Odp. − 3 ========

Janek191: d) W(x) =2 x³ + (a + b) x² + ( 5 b +2 a) x − 8 r₁ = 4, r₂ = −2 Mamy W(4) = 128 + 16 a + 16 b + 20 b + 8 a − 8 = 24 a + 36 b + 120 = 0 W(−2) = − 16 + 4 a + 4 b − 10 b − 4 a − 8 = − 6 b − 24 = 0 b = − 4 24 a + 36*(−4) + 120 = 0 / : 12 2 a − 12 + 10 = 0 a = 1 więc W(x) = 2 x³ − 3 x² − 18 x − 8 oraz ( x − 4)*( x + 2) = x² − 2 x − 8 Wykonujemy dzielenie (2 x³ −3 x² − 18 x − 8) : ( x² −2 x − 8) = (2 x + 1)

	1
2 x + 1 = 0 ⇔ x = −
	2

	1
Odp. −
	2

============

Janek191: z. 5.117 Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W(x), jeśli : a) W(x) = x³ +2 x² −3 x − 10 Mamy W(2) = 8 + 8 − 6 − 10 = 0 Wykonujemy dzielenie W(x) przez (x − 2) W(x) : ( x − 2) = x² + 4 x + 5 x² + 4 x + 5 = 0 Δ = 16 − 4*1*5 < 0 − brak innych pierwiastków. Odp. x = 2 ========= h) W(x) = x⁴ + 3 x³ −12 x² − 13 x − 15 Mamy W(3) = 81 + 81 − 12*9 − 13*3 − 15 = 162 − 162 = 0 W(−5) = 625 − 375 − 12*25 + 13*5 − 15 = 250 − 300 + 65 − 15 = 0 oraz (x − 3)*( x + 5) = x² +2 x − 15 W(x) : ( x² + 2 x − 15) = x² + x + 1 x² + x + 1 = 0 Δ = 1 − 4*1*1 < 0 − brak innych pierwiastków Odp. x = − 5 lub x = 3 ====================

Janek191: z.5.118 Dla jakich wartości parametrów a, b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), jeśli : a) W(x) = 2 x³ −a x² + b x + 15 P(x) = ( x + 3)*(x − 1) I sposób: W(−3) = 2*(−27) − 9 a − 3 b + 15 = − 9 a − 3 b − 39 = 0 ⇒ − 3 a − b = 13 W(1) = 2*1 − a + b + 15 = 17 − a + b = 0 ⇒ a = 17 + b więc −3*( 17 + b) − b = 13 − 51 −3 b − b = 13 −4 b = 64 b = − 16 a = 17 − 16 = 1 Odp. a = 1 b = − 16 =================== II sposób P(x) = (x + 3)*(x −1) = x² − x +3 x − 3 = x² + 2 x − 3 Wykonuję dzielenie: ( 2 x³ −a x² + b x + 15 ) : ( x² +2 x − 3) = 2 x − a − 4 − 2 x³ −4 x² + 6 x −−−−−−−−−−−−−−− ( − a − 4) x² + ( b +6) x + 15 ( a + 4) x² + (2 a + 8) x −3 a − 12 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ( 2 a + b +14 ) x − 3 a + 3 Musi być 2 a + b + 14 = 0 −3 a + 3 = 0 ⇒ a = 1 −−−−−−−−−− 2*1 + b = − 14 b = − 16 −−−−−−−− d) W(x) = − x⁴ + (a + b) x³ + (2 a − b) x² − x + 2 P(x) = − x² − x + 2 P(x) = − (x² + x − 2) = − ( x + 2)*(x − 1) więc W( − 2) = − 16 − 8 *( a + b) + 4*(2 a − b) + 2 + 2 = −12 −12 b = 0 ⇒ b = − 1 i W(1) = − 1 +a + b + 2 a − b −1 + 2 = 3 a = 0 ⇒ a = 0 Odp. a = 0 b = − 1 =====================

Janek191: z.5.119 Podaj pierwiastki wielomianu W(x) i określ krotność każdego z nich, jeśli : a) W(x) =2 x²*(x − 1)³*(x + 5)⁴ Odp. 0 − dwukrotny, 1 − trzykrotny, − 5 − czterokrotny f) W(x) = (x² + 10 x +25)²*(x² − 25)*(x² + x +6) = [(x +5)²]²*(x − 5)*(x + 5)*(x² +x + 6) = = (x + 5)⁵*( x − 5)*(x² + x + 6) Odp. − 5 − pięciokrotny, 5 − jednokrotny ==================================

Janek191: z. 5.120 Sprawdź, czy liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Jeśli tak, określ krotność tego pierwiastka: a)

	1
W(x) = 6 x3 +3 x2 + 10 x + 5, r = −
	2

Mamy

	1		1		1		1
W(		) = 6*(−		) + 3*		− 10*		+ 5 = 0
	2		8		4		2

	1
W(x) : ( x +		) = 6 x2 + 10 > 0
	2

	1
więc −		jest pierwiastkiem jednokrotnym.
	2

d)

	1
W(x) = 8 x5 −12 x4 + 14 x3 − 13 x2 + 6 x − 1, r =
	2

Mamy

	1		1		1		1		1		1
W(		) = 8*		− 12*		+ 14*		− 13*		+ 6*		− 1 = 0
	2		32		16		8		4		2

	1
Schematem Hornera sprawdzamy ile krotnym pierwiastkiem jest		.
	2

	1
Odp.		jest pierwiastkiem trzykrotnym.
	2

Janek191: z. 5.121 Wykaż, że liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli : a) W(x) = x⁴ −2 x³ + 3 x² − 4 x + 2, r = 1 Mamy W(1) = 1 − 2*1 +3*1 − 4*1 + 2 = 0 oraz W(x) : ( x − 1) = x³ − x² +2 x − 2 = V(x) V(1) = 1 − 1 + 2 − 2 = 0 c) W(x) = x⁵ + 4 x⁴ + 4 x³ − 7 x² − 28 x − 28, r = − 2 Mamy W( −2) = − 32 + 4*16 − 4*8 − 7*4 + 56 − 28 = 0 oraz W(x) : ( x + 2) = x⁴ +2 x³ − 7 x − 14 = V(x) V( −2) = 16 − 2*8 + 14 − 14 = 0

Janek191: z.5.122 Wykaż, że liczba r jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x0, jeśli : a) W(x) = x⁵ + 3 x⁴ + x³ − 5 x² − 6 x − 2, r= − 1 V(x) = (x + 1)³ = x³ + 3 x² +3 x + 1 oraz ( x⁵ + 3 x⁴ + x³ −5 x² − 6 x − 2) : ( x³ +3 x² + 3 x + 1) = x² − 2 − x⁵ − 3 x⁴ − 3 x³ − x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− − 2 x³ − 6 x² − 6 x − 2 2 x³ + 6 x² + 6 x + 2 −−−−−−−−−−−−−−−−− 0

Janek191: z .5.123 Wyznacz liczbę a, wiedząc, że wielomian W(x) ma jeden pierwiastek dwukrotny, jeśli : a)

	a		9
W(x) = 4 x2 + 12 x + a = 4*(x2 + 3 x +		) = 4*(x2 +3 x +		)
	4		4

a = 9 b) W(x) = x² + a x + 25 = ( x − 5)² ⇒ a = − 10 lub W(x) = x² + a x + 25 = (x + 5)² ⇒ a = 10 c)

	1
W(x) = −4 x2 + 4 x + a = − 4*( x2 − x +		) ⇒ a = − 1
	4

Janek191: z. 5.124 Wyznacz liczby a i b, wiedząc,że wielomian W(x) ma jeden pierwiastek trzykrotny, jeśli : a) W(x) = x³ +a x² + b x − 1 Korzystamy z wzoru: ( a + b)³ = a³ + 3 a² b +3 a b² + b³ Mamy (x −1)³ = x³ − 3 x² + 3 x − 1 = x³ +a x² + b x − 1 więc a = − 3, b = 3 ================ b) W(x) = x³ + 6 x² +a x + b Mamy ( x + 2)³ = x³ + 3 x² + 12 x + 8 = x³ + 6 x² +a x + b więc a = 12, b = 8 ============ c) W(x) = 27 x³ + a x² + b x + 8 Mamy ( 3 x + 2)³ = 27 x³ + 54 x² + 36 x + 8 = 27x³ +a x² + b x + 8 więc a = 54, b = 36 ============== d) W(x) = 8 x³ +a x² + 150 x + b Mamy ( 2 x + 5)³ = 8 x³ + 60 x² + 150 x + 125 więc a = 60, b = 125 ==================

Janek191: z. 5.125 Dla jakich wartości parametrów a i b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) jeśli : a) W(x) = x⁴ −2 x³ + 6 x² +a x + b , r = 1 Mamy ( x − 1)² = x² −2 x + 1 oraz ( x⁴ − 2 x³ + 6 x² + a x + b) : ( x² −2 x + 1) = x² + 5 − x⁴ +2 x³ − x² −−−−−−−−−−−−−− 5 x² + a x + b −5 x² + 10 x − 5 −−−−−−−−−−−−−−−−− Aby reszta równała się 0, musi być a = − 10 , b = 5 ==============

Janek191: z. 334 Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x − p i przez dwumian x − q. Wynikiem dzielenia W(x) przez x − p jest wielomian P(x) = − x² + 10 x − 16, a dzieląc W(x) przez x − q otrzymam wielomian Q(x) = − x² + 52 x − 100. Oblicz W(49). Mamy W(x) = ( x − p)*( − x² + 10 x − 16) i W(x) = ( x − q )*( −x² + 52 x − 100), więc ( x − p)*( − x² + 10 x − 16) = (x − q)*( − x² + 52 x − 100) − x³ + 10 x² − 16 x + p x² − 10p x + 16 p = −x³ + 52 x² − 100 x + q x² − 52 qx + 100 q ( 10 + p) x² + ( − 16 − 10 p) x +16 p = ( 52 + q) x² + ( − 100 − 52 q ) x + 100 q zatem 10 + p = 52 + q ⇒ q = p − 42 −16 − 10 p = − 100 − 52 q ⇒ 10 p − 52 q = 84 ⇒ 10 p = 84 + 52*( p − 42) 10 p = 84 + 52 p − 2184 42 p = 2 100 p = 50 q = 8 czyli W(x) = ( x − 50)*( − x² + 10 x − 16) oraz W(49) = − 1*( − 2 401 + 490 − 16) = 2 401 − 490 + 16 = 1 927 ==================================================

Janek191: z.335 Dzieląc wielomian W(x) przez dwumian (x − 2009 ) otrzymujemy iloraz Q(x) = x⁵ − 2010 x⁴ + 2000 i resztę R(x) = 2000. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x − 2010. Mamy W(x) = ( x − 2009)*( x⁵ − 2010 x⁴ + 2000) + 2000 więc reszta z dzielenia W(x) przez x − 2010 jest równa W( 2010) W(2010) = ( 2010 − 2009)*( 2010⁵ − 2010*2010⁴ + 2000) + 2000 = 4 000 ============================================================

Janek191: z.336 Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian x − 1 otrzymujemy iloraz Q(x) = 8 x² + 4 x −14 oraz resztę R(x) = − 5. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x). Mamy W(x) = ( 8 x² + 4 x − 14)*( x − 1) − 5 = 8 x³ + 4 x² − 14 x − 8 x² − 4 x + 14 − 5 = = 8 x³ − 4 x² − 18 x + 9 = 4 x²*( 2 x − 1) − 9*( 2 x − 1) = ( 2 x −1)*(4 x² − 9) =

	3		1		3
= (2 x − 1)*(2 x − 3)*( 2 x + 3) = 0 ⇔ x = −		lub x =		lub x =
	2		2		2

Janek191: Z. 337 Wielomian trzeciego stopnia jest podzielny przez każdy z dwumianów: x − 11, x − 13, x − 15, a reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x −10 jest równa 60. oblicz W(14). Mamy W(x) = a*( x − 11)*(x − 13)*( x − 15) więc W(10) = a*(−1)*(−3)*(−5) = − 15 a = 60 ⇒ a = − 4 czyli W(x) = − 4*(x − 11)*(x − 13)*(x − 15) dlatego W(14) = − 4*3*1*(−1) = 12 ======================

Janek191: z. 338 Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = 6 x³ + ( m +4) x² − 2 x − 1 przez dwumian x − m jest równa 8. Oblicz m oraz pierwiastki tego wielomianu. Mamy W(m) = 8 czyli 6 m³ + ( m + 4)*m² −2 m − 1 = 6 m³ + m³ +4 m² − 2m − 1 = 8 7 m³ + 4 m² − 2m − 9 = 0 m = 1 bo 7*1 + 4*1 − 2*1 − 9 = 0 zatem W(x) = 6 x³ + 5 x² − 2 x − 1 W(−1) = − 6 + 5 + 2 − 1 = 0 więc W(x) = (x + 1)*(6 x² − x − 1) 6 x² − x − 1 = 0 Δ = 1 − 4*6*(−1) = 25 √Δ = 5

	1 − 5		1		1 + 5		1
x =		= −		lub x =		=
	12		3		12		2

	1		1
Odp. − 1, −		,
	3		2

========================

Janek191: z.339 Wielomian W(x) = x³ + b x² + c x + 24 jest podzielny przez wielomian U(x) = x − 4, a przy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian V(x) = x + 2 otrzymujemy resztę 36. Znajdź pierwiastki wielomianu W(x). Mamy W(4) = 64 + 16 b + 4 c + 24 = 16 b + 4 c + 88 = 0 ⇒ 4 b + c = − 22 oraz W(−2) = − 8 + 4 b − 2 c + 24 = 4 b −2 c + 16 = 36 ⇒ 4 b − 2 c = 20 Odejmujemy stronami 3 c =− 42 c = − 14 4 b − 2*(−14) = 20 b = − 2 więc W(x) = x³ − 2 x² − 14 x + 24 x₁ = 4 ====== czyli W(x) = (x − 4)*(x² +2 x − 6) x² +2 x − 6 = 0 Δ = 4 − 4*1*(−6) = 28 = 4*7 √Δ = 2 √7

	− 2 − 2√7
x2 =		= − 1 − √7 x3 = − 1 + √7
	2

==================================================

Janek191: z. 340 Dany jest wielomian W(x) = ( x² + 8 x + 15)²⁰⁰⁹ + ( x² + 6 x + 5)²⁰¹⁰. a) Sprawdź, czy wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) = x + 5. b) Uzasadnij, że reszta z dzielenia W(x) przez dwumian x + 2 jest równa 4*3²⁰⁰⁹. a) W(−5) = ( 25 − 40 + 15)²⁰⁰⁹ = ( 25 − 30 + 5)²⁰¹⁰ = 0 + 0 = 0 Tak b) W(−2) = ( 4 − 16 + 15)²⁰⁰⁹ + ( 4 − 12 + 5)²⁰¹⁰ = 3²⁰⁰⁹ + (−3)²⁰¹⁰ = 3²⁰⁰⁹ + 3*3²⁰⁰⁹ = 4*3²⁰⁰⁹

Janek191: z.341 Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x + 1 , a wynikiem dzielenia W(x) przez x + 1 jest wielomian Q(x). Natomiast dzieląc wielomian W(x) przez dwumian x − 2 otrzymujemy iloraz Q(x) + 6 x − 3 i resztę 3. Wyznacz wielomian W(x). Mamy W(x) = Q(x)*( x + 1) i W(x) =( Q(x) + 6 x − 3)*(x − 2) + 3 więc Q(x)*x + Q(x) = Q(x)*x − 2 Q(x) + 6 x² − 12 x −3 x + 6 + 3 3 Q(x) = 6 x² − 15 x + 9 / : 3 Q(x) = 2 x² − 5 x + 3 zatem W(x) =( 2 x² − 5 x + 3)*( x + 1) = 2 x³ − 3 x² − 2 x + 3 ============================================

Janek191: z. 342 Wielomian W(x) = x⁴ + 4 x³ + c x² +d x + 1, gdzie c, d ∊ ℂ , ma dwa różne pierwiastki wymierne .Znajdź niewymierne pierwiastki tego wielomianu. Z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych mamy x₁ = − 1 x₂ = 1 więc W(−1) = 1 − 4 + c − d + 1 = −2 + c − d = 0 ⇒ c − d = 2 oraz W(1) = 1 + 4 + c + d + 1 = 6 + c + d = 0 ⇒ c + d = − 6 Mamy układ równan c − d = 2 c + d = − 6 −−−−−−−−−− dodajemy stronami 2 c = − 4 c = − 2 ===== d = − 6 − c = − 4 ============= zatem W(x) = x⁴ + 4 x³ − 2 x² − 4 x + 1 oraz ( x − 1)*(x + 1) = x² − 1 Wykonujemy dzielenie: (x⁴ + 4 x³ −2 x² −4 x + 1) : (x² − 1) = x² + 4 x − 1 oraz x² +4 x − 1 = 0 Δ = 16 −4*1*(−1) = 20 = 4*5 √Δ = 2 √5 dlatego

	− 4 − 2√5
x3 =		= − 2 − √5 x4 = − 2 + √5
	2

=============================================

Janek191: z.343 Liczby pierwsze p i q ( p ≠ q ) są pierwiastkami wielomianu W(x) = 2 x³ + b x² + c x − 10, gdzie b i c są liczbami całkowitymi. Zapisz wielomian W(x) jako iloczyn trzech wielomianów stopnia pierwszego. Z odpowiedniego tw. mamy pierwiastki : 2 i 5 ( liczby pierwsze), więc W(2) = 16 + 4 b +2 c − 10 = 4 b + 2c = − 6 / : 2 ⇒ c = −2 b − 3 W(5) = 250 + 25 b + 5 c − 10 = 25 b + 5 c = − 240 25 b + 5*( −2 b − 3) = − 240 15 b = − 225 b = − 15 ====== c = 27 ===== czyli W(x) = 2 x³ − 15 x²+ 27 x − 10 oraz ( x − 2)*(x − 5) = x² − 7 x + 10 Wykonujemy dzielenie ( 2 x³ − 15 x² + 27 x − 10 ) : ( x² − 7 x + 10 ) = 2 x − 1 Odp. W(x) = (2 x −1)*( x − 2)*(x − 5) ============================

Janek191: z.344 Dwie ujemne liczby wymierne są miejscami zerowymi funkcji f(x) =2 x³ + b x² + c x + 1, gdzie b.c ∊ ℂ. Znajdź wszystkie argumenty , dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne.

	1
Te ujemne liczby ( miejsca zerowe f) to : − 1 i −		.
	2

Mamy f(−1) = − 2 + b − c + 1 = b − c − 1 = 0 ⇒ c = b − 1

	1		1		1		1		3		1		1
f(−		) = −		+		b −		c + 1 =		+		b −		c = 0 / * 4
	2		4		4		2		4		4		2

więc 3 + b − 2 c = 0 ⇒ b − 2*( b − 1) = − 3 − b = − 5 b = 5 c = 5 − 1 = 4 zatem

	1
f(x) = 2 x3 + 5 x2 + 4 x + 1 oraz ( x +		)*(x + 1) = x2 + 1,5 x + 0,5
	2

( 2 x³ + 5 x² +4 x + 1) : ( x² + 1,5 x + 0,5) = 2 x + 2 = 2*(x + 1) czyli f(x) = 2( x + 1)*(x + 1)*(x + 0,5) = 2*(x + 1)²*(x + 0,5) ≥ 0 ⇔ x ∊ < − 0,5, +∞> ∪ { − 1} ===================================================================

Janek191: z. 5.128 Dany jest wielomian W(x) = (x + 1)*[x² + ( p + 3) x + 9 ]. Ustal krotność pierwiastków tego wielomianu ze względu na wartość parametru p ( p ∊ℛ ). x = −1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. x² + ( p + 3) x + 9 = 0 Δ = p² + 6 p + 9 − 36 = p² + 6 p − 27 1) Δ < 0 Δ₁ = 36 − 4*1*( −27) = 144 p{Δ₁) = 12

	− 6 − 12
p =		= − 9 lub p = 3
	2

zatem dla p ∊ ( − 9, 3) jest Δ < 0 czyli wielomian W(x) ma jeden pierwiastek jednokrotny x = − 1 2) Dla p = − 9 lub p = 3 jest Δ = 0 i mamy wtedy x² − 6 x + 9 = 0 lub x² + 6 x + 9 = 0 czyli (x − 3)² = 0 lub (x + 3)² = 0 3 − pierwiastek dwukrotny lub − 3 pierwiastek dwukrotny oraz dla p = 7 mamy x² + 10 x + 9 = (x + 1)*( x + 9) = 0 ⇔ x = − 1 lub x = − 9 x = − 1 − pierwiastek dwukrotny i x = − 9 − pierwiastek jednokrotny. Reasumując − dla p ∊ { − 9, 7, 3} wielomian W(x) ma jeden pierwiastek dwukrotny i jeden pierwiastek jednokrotny. 3) Dla p ∊ ( − ∞, − 9) ∪ ( 3, 7) ∪ ( 7, + ∞) jest Δ > 0 i wtedy wielomian ma trzy pierwiastki jednokrotne.

Janek191: z.5.129 Dany jest wielomian W(x) = (x² − 4 x + 4)*[x² − ( p +1) x + 4 ]. Ustal krotność pierwiastków tego wielomianu ze względu na wartość parametr p ( p ∊ ℛ ). x² −4 x + 4 = ( x − 2)² = 0 ⇔ x = 2 x = 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym W(x). x² − ( p + 1) x + 4 = 0 Δ = p² +2 p + 1 − 16 = p² + 2p − 15 1) p² + 2p − 15 < 0 Δ₁ = 4 − 4*1*(−15) = 64 √Δ₁ = 8

	− 2 − 8
p =		= − 5 lub p = 3
	2

Dla p ∊ ( − 5, 3) jest Δ < 0 i wtedy wielomian W(x) ma jeden pierwiastek dwukrotny x = 2. 2) p² + 2 p − 15 = 0 p = − 5 lub p = 3 Dla p = − 5 mamy x² + 4 x + 4 = (x + 2)² = 0 ⇔ x = − 2 Wielomian W(x) ma dwa pierwiastki dwukrotne x = 2 i x = − 2 Dla p = 3 mamy x² − 4 x + 4 = ( x − 2)² = 0 ⇔ x = 2 Wielomian ma jeden pierwiastek czterokrotny x = 2. 3) Dla p ∊ ( − ∞, − 5) ∪ ( 3, +∞) jest Δ > 0 Wielomian ma jeden pierwiastek dwukrotny x = 2 i dwa pierwiastki jednokrotne.

Janek191: z. 5.130 Podaj przykład wielomianu W(x), który spełnia następujące warunki: st. W(x) = 4, wielomian ma tylko jeden pierwiastek równy 5, liczba 5 jest pierwiastkiem dwukrotnym Np. W(x) = ( x − 5)²*(x² + 1) z. 5.131 Podaj przykład wielomianu W(x), który spełnia następujące warunki: st. W(x) = 6, jedynymi pierwiastkami wielomianu są liczby, 0, √5, − √5, wszystkie pierwiastki są dwukrotne. Np. W(x) = x²*( x − √5)²*( x + √5)²

Janek191: z. 5.132 Np. W(x) = ( x + 3)³*( x − 4)*( x² + 1)*(x² + 2) z. 5.133

	1
Np. W(x) =4 ( x − 4)*(( x +		)2*( x − 3)4
	2

Janek191: z. 5.134 Wielomian W(x) jest stopnia trzeciego i ma trzy pierwiastki : −2, − 1 oraz 4. Czy wielomian P(x) = W(x)*(x³ +3 x² +3 x + 1) ma pierwiastki wielokrotne? Jeśli tak, to jakie ? Podaj krotność pierwiastka wielokrotnego. x³ +3 x² + 3 x + 1 = ( x + 1)³ więc P(x) ma pierwiastek czterokrotny równy −1.

Janek191: z.5.135 Wielomian W(x) jest stopnia drugiego i ma jeden pierwiastek dwukrotny równy 2. Czy wielomian

Janek191: P(x) = [ W(x)]³*(x² − 4) ma pierwiastki wielokrotne ? Jeśli tak, to jakie? Podaj krotność pierwiastka wielokrotnego. Wielomian P(x) można zapisać P(x) = [ a (x − 2)²]³*( x − 2)*(x + 2) = a³*( x − 2)⁷*(x + 2) więc P(x) ma pierwiastek siedmiokrotny równy 2.

Janek191: z. 5.137 Rozłóż wielomiany na czynniki, wyłączając wspólny czynnik poza nawias: d) W(x) = (x² + 1)*(x + 3) − (x + 3)*(4 −3 x²) = (x + 3)*[(x² +1) − ( 4 −3 x²)] = = ( x + 3)*( x² + 1 − 4 + 3 x²) = (x + 3)*(4 x² − 3) = ( x + 3)*(2 x −√3)*(2 x + √3)

Janek191: z. 5.138 Rozłóż na czynniki wielomiany stosując wzory skróconego mnożenia : a) W(x) = 4 x² − 9 = (2 x)² − 3² = ( 2 x − 3)*(2 x + 3) e) W(x) = ( 9 x² − 6 x +1) − ( 4 x² +20 x + 25) = ( 3x − 1)² − ( 2 x + 5)² = = ( 3 x − 1 − 2 x − 5)*(3 x −1 + 2 x + 5) = ( x − 6)*(5 x + 4) i) W(x) = 8 x³ + 1 = (2 x)³ + 1³ = ( 2 x + 1)*(4 x² − 2 x + 1) j) W(x) = 125 x³ − 8 = (5 x)³ − 2³ = (5 x − 2)*(25 x² + 10 x + 4)

Janek191: z. 5.139 Rozłóż na czynniki wielomiany metodą grupowania wyrazów: a) W(x) = x³ +3x² − 4 x −12 = x²*(x +3) − 4*( x + 3) = (x +3)*(x² − 4) = (x +3)*(x −2)*(x + 2) d) W(x) = x³ − x² + x − 1 = x²*(x −1) + (x −1) = (x −1)*(x² + 1) h) W(x) = 20 x³ + 12 x² − 45 x − 27 = 4 x²*(5 x + 3) − 9*( 5 x + 3) = ( 5 x+3)*(4 x² − 9) = = ( 5 x + 3)*(2 x − 3)*(2 x + 3)

Janek191: z. 5.140 a) W(x) = 3 x³ − 6 x² + 4 x − 8 = 3 x²*(x − 2) + 4*(x − 2) = (x − 2)*(3 x² + 4) d) W(x) = 18 x³ + 9 x² − 18 x − 9 = 9 x²*( 2 x + 1) − 9*( 2 x + 1) = (2 x + 1)*(9 x² − 9) = = 9*( 2x + 1)*(x − 1)*(x + 1) h) W(x) = − 12 x³ − 32 x² + 3 x + 8 = − 4 x²*( 3 x + 8) + 1*(3 x + 8) = (3 x + 8)*(1 − 4 x²) = = (3 x + 8)*( 1 − 2 x)*(1 +2 x)

Janek191: z. 5.141 a) W(x) = x⁴ +2 x³ − x − 2 = x³*(x + 2) − 1*( x + 2) = ( x + 2)*(x³ − 1) = = (x + 2)*(x − 1)*(x² + x + 1) d) W(x) = 125 x⁴ − 125 x³ − 8 x + 8 = 125x³*(x − 1) − 8*( x − 1) = = (x − 1)*(125 x³ − 8) = ( x − 1)*[ (5 x)³ − 2³] = (x −1)*( 5 x − 2)*(25 x² + 10 x + 4)

Janek191: z. 5.142 a) W(x) = x⁵ + x³ − x² − 1 = x³*(x² + 1) − 1*(x² + 1) = (x² + 1)*(x³ − 1) = = (x² + 1)*( x − 1)*( x² + x + 1) d) W(x) = x⁵ − x³ −125 x² + 125 = x³*(x² − 1) − 125*(x² − 1) = (x² −1)*(x³ −125) = = (x −1)*(x + 1)*(x − 5)*(x² + 5 x + 25)

Eta: Janek "korków " udzielasz przez nasze forum?

Janek191: z. 5.143 a) W(x) = x³ − 3 x + 2 = x³ − x −2 x + 2 = x*(x² − 1) − 2*(x −1) = = x*(x −1)*(x + 1) − 2*(x − 1) = (x −1)*(x² + x − 2) = ( x −1)*(x −1)*(x + 2)=(x −1)²*(x + 2) d) W(x) = x³ +4 x − 5 = x³ + 5 x − x − 5 = x*(x² − 1) + 5*(x −1) = = x*(x − 1)*(x + 1) + 5*(x − 1) = (x −1)*(x² + x + 5)

Janek191: z. 5.144 a) W(x) = x⁴ − 10 x² + 9 = ( x² − 9)*(x² − 1) = (x − 3)*(x + 3)*(x − 1)*(x + 1) b) W(x) = x⁴ + 4 x² − 5 = (x² + 5)*(x² − 1) = (x −1)*(x + 1)*(x² + 5) c) W(x) = 4 x⁴ +5 x² + 1 = ( 4 x² + 1)*( x² + 1) d) W(x) = −3 x⁴ +2 x² + 1 = ( − 3 x² − 1)*(x² − 1) = ( −3 x² −1)( x − 1)*(x + 1) = = ( 3 x² + 1)*( 1 − x)*(x + 1) z. 5 .145 a) W(x) = x⁴ − 1 = (x² − 1)*(x² + 1) = ( x − 1)*(x + 1)*(x² + 1) b) W(x) = x⁴ − 18 x² + 81 = ( x² − 9)² = (x −3)²*(x + 3)² c) W(x) = (x² + 1)² − 4 = (x²+1)² − 2² = ( x² +1 −2)*(x² + 1 + 2) = (x² −1)*(x² +3) = = ( x −1)*(x + 1)*(x² + 3) d) W(x) = (x² −3 x)² − 9 x² = (x²− 3 x)² − (3 x)² = ( x² −3 x −3 x)*(x² − 3 x +3 x) = = (x² − 6 x)*x² = x³*(x − 6)

Janek191: z. 5.146 a) W(x) = x³ + 4 x² + x − 6 W(1) = 0 więc W(x) = ( x −1)*(x² + 5 x + 6) = (x −1)*(x + 3)*(x + 2) b) W(x) =x³ + 5 x² + 3 x − 9 W(1) = 0 więc W(x) = ( x −1)*(x² + 6 x + 9) = (x −1)*( x + 3)² c) W(x) = x³ + 7 x² + 14 x + 8 W(−1) = 0 więc W(x) = (x +1)*(x² + 6 x + 8) = (x + 1)*(x + 2)*(x + 4) f) W(x) = x³ + 7 x² + 11 x + 5 W(−1) = 0 więc W(x) = ( x +1)*(x² + 6 x + 5) = ( x + 1)*(x + 1)*( x + 5) =(x+1)²*(x + 5)

Janek191: z. 5.147 a) W(x) = 2 x⁴ − 6 x³ − 8 x² = 2 x²*(x² − 3 x − 4) = 2 x²*(x − 4)*( x + 1) c) W(x) = x⁴ + 6 x² + 9 = ( x² + 3)² d) W(x) = 125 x³ − 150 x² + 60 x − 8 = ( 5 x − 2)³ g) W(x) = 4 x³ + 4 x² − 9 x − 9 = 4 x²*(x + 1) − 9*( x + 1) = (x+1)*(4 x² − 9) = = (x + 1)*(2 x − 3)*(2 x + 3) h) W(x) = x³ − x + 6 W(−2) = 0 więc W(x) = (x + 2)*( x² − 2 x + 3)

Janek191: z. 5.148 a) W(x) = x⁴ + 1 = ( x² + 1)² − 2 x² = ( x² + 1)² − (√2 x)² = = (x² + 1 − √2 x)*(x² + 1 + √2 x) = ( x² − √2 x + 1)*(x² + √2 x + 1) d) W(x) = x⁴ + 324 = (x² + 18)² − 36 x² = ( x² + 18)² − ( 6 x)² = = (x² + 18 − 6 x)*(x² + 18 + 6 x) = (x² − 6 x + 18)*(x² + 6 x + 18)

Janek191: z. 5.238 Rozwiąż nierówność a) I x³ − 1 I ≤ x² + x + 1 I (x −1)*(x² + x + 1) I ≤ x² + x + 1 I x − 1 I* I x² + x + 1 I ≤ x² + x + 1 ; Δ = 1 − 4*1*1 < 0 więc x² + x + 1 > 0 zatem I x² + x + 1 I = x² + x + 1 ; dzielimy obie strony nierówności przez ( x²+x +1) I x − 1 I ≤ 1 x − 1 ≥ − 1 i x − 1 ≤ 1 x ≥ 0 i x ≤ 2 x ∊ < 0 , 2 > ============= d) I x³ + 125 I ≥ 2 x² − 10 x + 50 I (x + 5)*(x² − 5 x + 25 ) I ≥ 2*(x² −5 x + 25 ) Δ = 25 − 4*1*25 < 0 więc x² − 5 x + 25 > 0 i I x² − 5 x + 25 I = x² − 5 x + 25 Dzielimy obustronnie przez ( x² − 5 x + 25 ) I x + 5 I ≥ 2 x + 5 ≤ − 2 lub x + 5 ≥ 2 x ≤ − 7 lub x ≥ − 3 x ∊ ( − ∞, − 7 > ∪ < − 3, +∞) ======================

Janek191: z. 5.179 Rozwiąż równania: a) I x³ − 1 I = x² + x + 1 I (x −1)*(x² + x + 1) I = x² + x + 1 Δ = 1 −4*1*1 < 0, więc x² + x + 1 > 0 I x − 1 I* I x² + x +1 I = x² + x + 1 i I x² + x + 1 I = x² + x + 1 I x − 1I *(x² + x + 1) = x² + x + 1 Dzielimy obustronnie przez x² + x + 1 I x − 1 I = 1 x − 1 = − 1 lub x − 1 = 1 x = 0 lub x = 2 ==================== b)

1
	I x3 + 1 I = x2 − x + 1
2

1
	I x + 1 I* I x2 − x + 1 I = x2 − x + 1 Δ = 1 − 4*1*1 < 0 więc x2 − x + 1 > 0
2

I x + 1 I*(x² − x + 1) = 2*(x² − x + 1) i I x² − x + 1 I = x² − x + 1 Dzielimy obustronnie przez x² − x + 1 I x + 1 I = 2 x + 1 = − 2 lub x + 1 = 2 x = − 3 lub x = 1 ==================

Janek191: c) I x³ − 8 I = x² +2 x + 4 I ( x − 2)*(x² + 2 x + 4) I = x² + 2 x + 4 Δ =4 − 4*1*4 < 0 I x − 2 I * I x² +2 x + 4 I = x² +2 x + 4 x² +2 x + 4 > 0, więc I x²+2x+4 I = x² +2 x + 4 I x − 2 I*( x² +2 x + 4) = x² + 2 x + 4 Dzielimy obustronnie przez x² + 2x +4 I x − 2 I = 1 x − 2 = − 1 lub x − 2 = 1 x = 1 lub x = 3 ================= d) I x³ + 64 I = x² − 4 x + 16 I ( x + 4)*(x² −4 x + 16 ) I = x² −4 x + 16 Δ =16 − 4*1*16 < 0 I x + 4 I * I x² −4 x + 16 I = x² − 4 x + 16 więc x² − 4 x + 16 > 0 I x² − 4 x + 16 I = x² − 4 x + 16 Dzielimy obustronnie przez x² − 4 x + 16 I x + 4 I = 1 x + 4 = − 1 lub x + 4 = 1 x = − 5 lub x = − 3 ====================

Janek191: z. 5.180 a) 8 *I x − 1 I + (x −1)*(x² + 4) = 0 Dla x < 1 mamy 8*( − x + 1) + ( x − 1)*(x² + 4) = 0 (x − 1)*( x² + 4 − 8) = 0 (x −1)*(x² − 4) = 0 ( x −1)*(x −2)*(x + 2) = 0 ⇒ x = − 2 Dla x ≥ 1 mamy 8*( x − 1) +*(x − 1)*(x² + 4) = 0 (x − 1)*( x² + 4 + 8) = 0 (x − 1)*(x² + 12) = 0 x² + 12 > 0 x = 1 Odp. x = − 2 lub x = 1 ====================