ciągi azeta: co znaczy, że dwa ciągi "maja wspólny wyraz"? to znaczy, że jeżeli by wziąć ciąg a_n i b_n, to dla n=k a_k=b_k? czy po prostu istnieje taki wyraz a_m i wyraz b_p (m≠p), że a_m=b_p?

Adamm: pierwsze lub drugie

Adamm: wspólny wyraz, na logikę jeśli mamy zbiór A elementów pierwszego ciągu i B drugiego to dwa ciągi mają wspólny wyraz gdy A∩B≠∅

azeta: "Dane są dwa ciągi liczb całkowitych dodatnich: ciąg arytmetyczny o różnicy r > 0 i ciąg geometryczny o ilorazie q > 1; liczby naturalne r, q są względnie pierwsze. Udowodnić, że jeśli te ciągi mają jeden wspólny wyraz, to mają nieskończenie wiele wspólnych wyrazów." co sądzisz?

Adamm: pomyślę nad tym, ale już raczej z rana pójdę spać, mam nadzieję że się nie gniewasz

azeta: jasne, nic się nie dzieję chociaż zależy mi jedynie żeby odszyfrować co to znaczy wspólny wyraz w tym ujęciu, broń Boże nie zależy mi na rozwiazaniu, bo to chcę sam rozkminić

Adam: pomyślałem trochę więcej przecież to jest zupełnie bez znaczenia wyrazy zawsze możemy przesunąć

azeta: hmm, to będę dalej myślał. dzięki

Krzysiek: a_n=a₁+(n−1)r b_k=b₁*q^k−1 a_n=b_k a₁+(n−1)r=b₁q^k−1 a₁+nr−r=b₁q^k−1 nr=b₁q^k−1−a₁+r

	b1qk−1−a1+r
n=
	r

jc: Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że pierwsze wyrazy rozważanych ciągów są równe i wynoszą a. Kiedy a+nr = a q^m? Przyjmijmy n = ka i zapytajmy o równość 1+kr = q^m. Czy dla nieskończenie wielu m, r| q^m − 1? Pamiętamy, że nwd(q,r) = 1, skąd wynika, że nwd(q^j, r) = 1. Tw. Eulera daje nam podzielność r | q^jφ(r) − 1. Wniosek. Mamy nieskończenie wiele par (n,m) dla których zachodzi równość. m = j φ(r), n = a (q^{j φ(r)} − 1) / r, j = 1,2,3,4,...

jc: Oj, teraz zauważyłem "bo to chcę sam rozkminić", przepraszam