calki calka: Równanie rózniczkowe moze miec wiecej niz jeden czynnik całkujacy. Udowodnic, ze L₁(x; y) = 1/(xy), L₂(x; y) = 1/y², L₃(x; y) = 1/(x² + y²) sa czynnikami całkujacymi równania y dx − x dy = 0. Uzasadnic, ze tak otrzymane rozwiazania sa równowazne. Jak to udowodnic? Co nalezy zrobic? A jak pokazac ich rownowaznosc?

Jerzy: Przemnóż równanie przez każdy z nich i wykaż ,że dostaniesz równania zupełne. Rozwiąż te równania i pokaż,że są tożsamościami.

calka: Czyli musza wyjsc trzy takie same rozwiazania tak?

'Leszek: Tak !

Mariusz: Jak znamy więcej niż jeden czynnik całkujący to wystarczy te czynniki podzielić aby otrzymać całkę ogólną równania

calka: Ale w jaki sposob podzielic?

Mariusz:

L2
	=C
L1

1
	(xy)=C
y2

x
	=C
y

L3
	=C
L2

y2
	=C
x2+y2

x2+y2		1
	=
y2		C

	x2		1
1+		=
	y2		C

x2		1
	=		−1
y2		C

x2
	=C1
y2

Jak masz więcej niż jeden czynnik całkujący to nie musisz całkować

Mariusz: Chociaż tutaj lepiej będzie postąpić jak radzą poprzednicy Czasem możesz dostać więcej niż jeden czynnik całkujący np równanie o rozdzielonych zmiennych

	dy
m1(x)n1(y)+m2(x)n2(y)		=0
	dx

ma czynnik całkujący

	1
μ(x,y)=
	n1(y)m2(x)

	y
równanie jednorodne y'=f(		)
	x

ma czynnik całkujący

	1
μ(x,y)=
	xP(x,y)+yQ(x,y)

Równanie liniowe pierwszego rzędu y'+a(x)y=b(x) ma czynnik całkujący μ(x)=exp(∫a(x)dx) Równanie Bernoulliego y'+p(x)y=q(x)^r ma czynnik całkujący postaci μ(x,y)=exp((1−r)∫p(x)dx)y^−r Mając czynnik całkujący równania Bernoulliego można łatwo podać czynnik całkujący dla równania Riccatiego gdy znana jest jedna całka szczególna