Indukcja Exam: Indukcja Udowodnij indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 zachodzi: a) (n + 1)(n + 2)(n + 3)...(2n) = 2ⁿ*1*3*5*...*(2n − 1) b) 1 − 2 + 3 − 4 + ... + −2n = −n. Proszę o pomoc.

kochanus_niepospolitus: Pamiętasz kroki indukcyjne? a) 1. n=1 2 = 2¹*1 L=P 2. n = k (k+1)(k+2)...(2k) = 2^k*1*3*5*...*(2k−1) 3. n = k+1

	(2k+1)*(2k+2)
L = (k+2)(k+3)...(2k+2) = (k+1)*(k+2)*...*(2k)*		= ... z (2.) =
	k+1

	(2k+1)*2*(k+1)
= 2k*1*3*5*...*(2k−1)*		= 2k*1*3*5*...*(2k−1)*(2k+1)*2 =
	k+1

= 2^k+1*1*3*5*...*(2k−1)*(2k+1) = P c.n.w. i tyle analogicznie (b) robisz.

Exam: Nie rozumiem przejścia w tej linijce:

	(2k+1)*(2k+2)
L = (k+2)(k+3)...(2k+2) = (k+1)*(k+2)*...*(2k)*		.
	k+1

Exam: A OK, już rozumiem

kochanus_niepospolitus: krok 1. (k+2)(k+3)...(2k+2) = (k+2)(k+3)...(2k)(2k+1)(2k+2) = [(k+2)(k+3)...(2k)] * (2k+1)*(2k+2) krok 2.

	k+1
[(k+2)(k+3)...(2k)] * (2k+1)*(2k+2) = [(k+2)(k+3)...(2k)] * (2k+1)*(2k+2) *		=
	k+1

	1
= [(k+1)(k+2)(k+3)...(2k)] * (2k+1)*(2k+2) *		=
	k+1

	(2k+1)*(2k+2)
= [(k+1)(k+2)(k+3)...(2k)] *
	k+1

teraz to widzisz?

Exam: A jak w podpunkcie b)? Próbowałem to rozpisywać według reguły, ale wychodziły mi jakieś bzdury.

kochanus_niepospolitus: pokaż jak rozpisujesz ... spojrzę na to

Exam: No to standardowo: 1) 1−2=−1 2)1 − 2 + 3 − 4 + ... + −2k = −k 3)1 − 2 + 3 − 4 + ... + −2k+2*(k+1) = −(k+1) Przypuszczam, że źle rozpisuję trzeci krok...

kochanus_niepospolitus: −2k+2*(k+1) <−−− Co to jest? Skąd i dlaczego?

Exam: Podstawiam za n=k+1.

kochanus_niepospolitus: Zauważ, że Lewa wygląda następująco: dla n =1 L = 1 − 2 dla n=2 L = 1−2 + 3 − 4 (bo 2*n = 2*2 = 4) dla n=3 L = 1−2+3−4+5−6 (bo 2*n = 2*3 = 6) a więc: dla n=k+1 L = 1−2+3−4+5−6 +.....+(2k−1) − 2k + (2k+1) − (2k+2) (bo 2*n = 2*(k+1) = 2k+2) rozumiemy teraz?

Exam: Aa, teraz rozumiem. Wielkie dzięki za pomoc.