Funkcja tworząca przejście na zapis sumy Luke: Cześć, Mam problem, ponieważ po wygenerowaniu wzoru funkcji tworzącej od trzeciego elementu nie zgadzają się wartości wygenerowane przez mój wzór a przez wzór rekurencyjny, który został podany na początku zadania. Ogółem podejrzewam, że błąd znajduje się gdzieś w tej okolicy: (jak przejść z takiego zapisu na zapis sumy? korzystając z prawidłowości, że ¹_1−x to ∑xⁿ) ⁻¹_x−1+²_1−4x Ja wyciągam −1 i 2 i zapisuję to w ten sposób −1∑xⁿ + 2∑4ⁿxⁿ Ale jak już wspomniałem powyższy wzór nie generuje takich samych wartości od a₃

Pytający:

−1		1
	=
x−1		1−x

Luke: ok dziękuje za wskazówkę. Teraz tym bardziej otrzymana funkcja nie generuje takich samych wyników jak wzór rekurencyjny. Raz a₀ = 1 a raz a₀ = 3

Luke: Ogólem robię to dobrze? Wychodzi mi coś takiego ^4x2+2x+1_{(1−x)(1−4x)} teraz trzeba to zapisać jako ^a_(1−x) + ^b_(1−4x) Wymnożyć i przyrównać do 4x²+2x+1 czyż nie? Następnie rozwiązać równanie gdzie otrzymuję wyniki a=−1, b=2

Pytający: No źle rozłożyłeś, przecież po sprowadzeniu z powrotem do wspólnego mianownika zniknie 4x². Tu masz rozkład: http://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions%5B(x%5E2%2B2x%2B1)%2F((1-x)(1-4x))%5D

Pytający: Ups, zapomniało mi się "4" napisać: http://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions%5B(4x%5E2%2B2x%2B1)%2F((1-x)(1-4x))%5D

Mila: Napisz treść zadania.

Mila: Nie wiem z czym porównać.

Luke: Jestem pewny za wcześniejszą cześć, ponieważ 2 sposobami dochodzę do takiej samej funkcji A(x) = u{4x²+2x+1}((1−x)(1−4x)} Pewnie coś źle robię w kolejnych krokach. 1. Zapisuję prawą stronę tego równania jako ^a_(1−x + ^b_1−4x 2.Wymnażam to przez siebie otrzymując a−4ax+b−bx 3.Porównuję z licznikiem a−4ax+b−bx = 4^x2+2x+1 4.Wyciągam x przed nawias x(−4a−b)+a+b = 4x²+2x+1 5.Porównuję wartości przy stopniach x² nie ma −4a−b=2 a+b=1 6.Rozwiązuję układ równań a = −1 b = 2 7.Podstawiam otrzymane wartości ⁻¹_1−x+²_1−4x 8.Zapisuję wzór −1∑xⁿ+2∑4ⁿxⁿ Jest gdzieś tutaj błąd w moich obliczeniach, rozumowaniu?

Luke: Oczywiście powinno być A(x) = ^4x2+2x+1_{(1−x)(1−4x)}

Pytający:

4x2+2x+1		4x2−5x+1+7x		7x
	=		=1+		=
(1−x)(1−4x)		4x2−5x+1		(1−x)(1−4x)

	7		7
=1−		+
	3(1−x)		3(1−4x)

Luke: Faktycznie niepotrzebnie zredukowałem −5x+7x nie .zauważając, że to co w liczniku też mam w miankowniku. Mam pytanie jeszcze dlaczego tam jest potem 1− a nie 1+? i co się stało z 7x na 7? Układ równań?

Luke: ok policzyłem i już wiem skąd te 7 i 3 bo tak wyszło a i b a=− ⁷₃ b={7}{3} Jak to teraz zamienić na sumę?

Pytający:

7x		−7		7
	rozłożyłem na ułamki proste, współczynniki wyszły		i		.
(1−x)(1−4x)		3		3

Pytający:

−7		−7		1		−7
	=		*		=		*∑n=0∞(xn)
3(1−x)		3		1−x		3

7		7		1		7		7
	=		*		=		*∑n=0∞((4x)n)=		*∑n=0∞(4nxn)
3(1−4x)		3		1−4x		3		3

Luke: No to tak jak zrobiłem wyszło mi dokładnie tak samo. I teraz uwzględniając(trzeba ją uwzględnić tak?) tą jedynkę z parę postów wyżej wyszło mi 1−⁷₃∑xⁿ+⁷₃∑4ⁿxⁿ

Pytający: Jak dla mnie ok.

Luke: Tylko, że nie generuje takich samych wartości Ze wzoru rekurencyjnego a₀=1 a₁=7 a₂=35 a tu ? a₀=1 a₁=8 a₂=4

Mila: Podaj ten wzór rekurencyjny.

Luke: 0 dla n niższego od zera 5a_n−1+4a_n−2+2ⁿ dla reszty

Pytający: 5a_n−1+4a_n−2+2ⁿ czy 5a_n−1−4a_n−2+2ⁿ

Luke: 5an−1−4an−2+2n tam ma być minus przed 4

Mila:

	1		8
an=		+		*4n−2n+1
	3		3

Mila: a₀=1,a₁=7 a_n=5a_n−1−4a_n−2+2ⁿ F(x)=a₀+a₁*x+∑(n=2do∞)[5a_n−1−4a_n−2+2ⁿ]xⁿ= =1+7x+5∑(n=2do∞)a_n−1xⁿ−4∑(n=2do∞)a_n−2xⁿ+∑(n=2do∞)2ⁿ*xⁿ= F(x)=1+7x+5x*[F(x)−a₀)−4x²*F(x)+[∑(n=do∞)2ⁿ*xⁿ]−2⁰*x⁰−2¹x¹⇔

	1
F(x)−5x*F(x)+4x2*f(x)=1+7x−5x−1−2x+		⇔
	1−2x

	1
F(x)*(1−5x+4x2)=
	1−2x

	1
F(x)=
	(1−2x)*(1−5x+4x2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=partial+fractions%5B1%2F((1-2x)*(1-5x%2B4x%5E2))%5D

Luke: Mam jeszcze pytanie o końcówkę 5 lini. Jeżeli tam jest suma od n=2 dlaczego podstawione zostaje 0 i 1?

Luke: aa dobra rozumiem rozpoczyna się od n=2 więc trzeba odjąć 2 początkowe wartości. Tego nie zrobiłem dlatego wychodziło błędnie. Bardzo wam dziękuję za pomoc.

Luke: Jeszcze mam tylko pytanie skąd się wzięło +1 przy n w zapisie −2ⁿ

Pytający: Po rozkładzie na ułamki proste (patrz link od Mili), masz ułamek:

2		1
	=−2*		=−2∑(n=0do∞)2nxn=∑(n=0do∞)−2n+1xn
2x−1		1−2x

Luke: W takim razie znów nie będą zgadzać się wartości wg. tego wzoru a₀ =1 a₁=8 a₂=40

Luke: A nie dobra zgadza się, dziękuje za pomoc.