| y | ||
Mam rownanie rozniczkowe ty′=ycos(ln | ) | |
| t |
| y | zcos(lnz)−z | |||
Niech | =z. Wowczas z′= | . | ||
| t | t |
| z′ | ||
Obliczam calke ∫ | dz. Podstawiam u=z(t); du=z′(t)dz. Mam | |
| zcos(lnz)−z |
| 1 | 1 | 1 | ||||
∫ | du=∫ | du. Dalej podstawiam w=lnu; dw= | du. Mam | |||
| ucos(lnu)−u | u(cos(lnu)−1) | u |
| 1 | ||
∫ | dw. Po przeksztalceniach mam | |
| cosw−1 |
| cosw+1 | 1 | cosw | ||||
−(∫ | dw)=−(∫ | dw+∫ | dw)= | |||
| sin2w | sin2w | sin2w |
| 1 | 1 | |||
=−(−ctgw− | )=ctgw+ | . | ||
| sinw | sinw |
| cos(lnz)+1 | ||
Zatem | =ln|t|+C | |
| sin(lnz) |
| du | dt | ||
= | , ato juz jest latwe do calkowania ,sprawdz ,powodzenia ! | ||
| cos u − 1 | t |
| cos(lnz)+1 | |
= | |
| sin(lnz) |
| cos2((lnz)/2)−sin2((lnz)/2)+cos2((lnz)/2)+sin2((lnz)/2) | |
| 2sin((lnz)/2)cos((lnz)/2) |
| cos((lnz)/2) | |
=ln(t)+C | |
| sin((lnz)/2) |
| π | lnz | |||
tan( | − | )=ln(t)+C | ||
| 2 | 2 |
| π | lnz | ||
− | =arctan(ln(t)+C) | ||
| 2 | 2 |
| π | lnz | ||
−arctan(ln(t)+C)= | |||
| 2 | 2 |
| cosx+1 | 1 | ||
=ctg( | x) | ||
| sinx | 2 |