analiza rozniczkowanie: y'=y²+a Jaki to jest typ rownania rozniczkowego?

Jerzy: Równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu.

rozniczkowanie: Dziekuje. Inaczej mozna to zapisac jako y'(a)=y²(a)+a ?

Jerzy: Sorry ... nie zauważyłem,że y jest w kwadracie.

Adam: ja bym powiedział, czy na pewno a to zmienna?

Jerzy: Można go podciagnąć pod równanie Bernoulliego.

Jerzy: a − to stała.

'Leszek: Matematycy pisza skrotowo pochodne funkcji np. y ' , fizycy uzywaja pelniejszego zapisu np. dy/dx , dy/dt i.t.p wowczas nie ma pomylek . Byc moze , ze jest to rownanie postaci dy/dx = y² +a , a stala ?

Jerzy: Owszem .... i można go rozwiać rozdzielając zmienne.

Mariusz: Jeżeli a nie byłoby stałe to mielibyśmy równanie Riccatiego które jest całkowalne w kwadraturach tylko w pewnych szczególnych przypadkach Jeśli znasz całkę szczególną równania Riccatiego możesz je sprowadzić do równania Bernoulliego bądź liniowego pierwszego rzędu Jeśli nie znasz całki szczególnej równania Riccatiego to możesz je sprowadzić do równania liniowego drugiego rzędu Niestety w tym równaniu najprawdopodobniej współczynniki nie będą stałe więc trudno ci będzie je scałkować Jeśli jest stałe to można rozdzielić zmienne

rozniczkowanie: Zalozmy, ze a jest stale. Zatem y'(t)=y²(t)+a, t∊R, a∊R.

	y'
∫		dy=∫1dt=ln|t|+C, C∊R
	y2+1

	y'
∫		dy. Niech u=y, du=y'dy.
	y2+1

	1
∫		du
	u2+a

1) a≥0

1

1

√a

u√a

√a

y√a

∫

du=∫

du=

arctg

=

arctg

u2+a

u2+(√a)2

a

a

a

a

√a		y√a
	arctg		=ln|t|+C
a		a

y(t)=√2aln|t|+C√2 2)a<0

	1		1		1		u−√−a
∫		du=∫		du=		ln|		|
	u2+a		u2−(√−a)2		2√−a		u+√−a

1		u−√−a
	ln|		|=ln|t|+C
2√−a		u+√−a

dobrze?

rozniczkowanie: Tam na gorze w dwoch calkach powinno byc y²+a zamiast y²+1.

Jerzy: 1) a > 0 (a ≠ 0 ) Skąd przejście z 5 do 6 linijki ?

rozniczkowanie: Pomylilo mi sie.

	(ln|t|+C)*a
Wydaje mi sie, ze powinno byc y(t)=√atg(		) dla a>0, t∊R.
	√a

A dla a<0 dobrze? Jak wyznaczyc tam y(t) ?

rozniczkowanie: Znowu mi sie pomylilo, bo ∫1dt=t+C a nie ln|t|+C.

Adamm: nie możesz tak całkować całkujesz obie strony po jednej zmiennej

'Leszek:

	dy
dy/dx = y2 + a ⇔		= dx
	a+ y2

	dy
∫		= ∫ dx ⇒ √a/a * arctg (y/√a) = x +C ⇒ arctg (y/√a) = √a*(x + C)
	a+y2

Czyli y = √a * tg [ √a (x + C) ], jezeli a >0 Chyba to jest tak ?

rozniczkowanie: Tez mi sie tak wydaje. Juz mi wyszlo wszystko. Dziekuje.