Udowodnij nierówność sty: a⁶ + b⁹ ≥ 12a²b³ −64

Adamm: ta nierówność nie jest spełniona dla dowolnych a, b dla a=0, b=−2 mamy −512<−64

sty: Przepraszam najmocniej, liczby a i b to liczby rzeczywiste dodatnie.

Saizou : a=1 b=1 1+1=2 12*1*1−64=12−64=−52 też nie działa xd

sty: dla a=1 i b=1 jest 2≥−52

Adamm: z nierówności między średnimi potęgowymi mamy

a6+b9+64
	≥3√a6*b9*64 ⇒ a6+b9≥12a2b3−64
3

Saizou : Widziałem nierówność w drugą stronę :C

Omikron: Jeżeli miałeś pochodne to możesz też przerzucić wszystko na lewą stronę, potraktować jako funkcję zmiennej a, liczyć pochodną i ekstrema. Będziesz musiał znaleźć punkty w których funkcja może przyjmować najmniejszą wartość (zależne od b) i rozwiązać już nierówność z jedną niewiadomą. Zwykle jest to przyjemny sposób, ale tutaj akurat obliczenia będzie żmudne, więc lepiej zastosować propozycję Adamma.

sty: Dziękuję za każdą odpowiedź i zainteresowanie zadaniem.