calki calka:

	1
Jak obliczyc calke ∫		dx ?
	cosx

Adamm:

	1		cosx		cosx
zauważ że		=		=
	cosx		cos2x		1−sin2x

teraz podstaw t=sinx i masz całkę wymierną

Jack:

1		cosx
	=
cosx		cos2x

MiAnownik z jedynki tryg. Podstawienie t=sinx

calka:

	x
Ok. A czy mozna byloby podstawic t=tg		?
	2

Adamm: można

calka:

	x		t   1+tg   2
Jak podstawie t=tg		to wychodzi ln|		| dobrze?
	2		t   1−tg   2

Adamm: wygląda na złe rozwiązanie

calka:

	x
to jak powinno wyjsc, gdy podstawie t=tg		?
	2

calka: ?

piotr: podałeś dobry wynik o 22:12

calka: Na pewno?

jc: Rachunek wg Adamma cd

	1		1 + sin x
=		ln
	2		1 − sin x

Mariusz: Dla fanów podstawień Eulera

	1
∫		dx=∫secxdx
	cosx

secx=t−tanx {Kontynuujemy jak przy pierwszym podstawieniu Eulera} sec²x=t²−2ttanx+tan²x 1+tan²x=t²−2ttanx+tan²x 1=t²−2ttanx 2ttanx=t²−1

	t2−1
tanx=
	2t

	2t2−t2+1		t2+1
secx=t−tanx=		=
	2t		2t

	2t*2t−2(t2−1)
sec2xdx=		dt
	4t2

	t2+1
sec2xdx=		dt
	2t2

(t2+1)2		t2+1
	dx=		dt
4t2		2t2

	4t2	t2+1
dx=			dt
	(t2+1)2	2t2

	2
dx=		dt
	t2+1

	t2+1	2		dt
∫			dt=∫
	2t	t2+1		t

=ln|t|+C =ln|secx+tanx|+C

	1
∫		dx
	cosx

cosx=(1−sinx)t {Kontynuujemy jak przy trzecim podstawieniu Eulera} cos²x=(1−sinx)²t² 1−sin²x=(1−sinx)²t² (1−sinx)(1+sinx)=(1−sinx)²t² 1+sinx=(1−sinx)t² 1+sinx=t²−sinxt² sinx+sinxt²=t²−1 sinx(1+t²)=t²−1

	t2−1		2
sinx=		=1−
	t2+1		t2+1

	2		2t
cosx=(1−sinx)t=(1−1+		)t=
	t2+1		t2+1

cosxdx=(−2)(−1)(t²+1)⁻²(2t)dt

2t		4t
	dx=		dt
t2+1		(t2+1)2

	2
dx=		dt
	t2+1

	t2+1	2		dt
∫			dt=∫
	2t	t2+1		t

=ln|t|

	cosx
=ln|		|+C
	1−sinx

	1+sinx
=ln|		|+C
	cosx

Mariusz: 15 mar 22:12 Gdy zmienisz t na x to będziesz miał funkcję pierwotną

calka: Ok. Dziekuje. Chcac obliczyc ∫√x²+1dx moge zrobic to z podstawien Eulera, ale jak to powinno byc, bo spotykam sie z roznymi wersjami tzn. √x²+1=x+t czy √x²+1=t−x ?

calka: ?

Mariusz: Obydwie wersje są dobre https://matematykaszkolna.pl/forum/326757.html Tutaj masz skąd te podstawienia się wzięły Mam też oryginał który jest po rosyjsku znasz ten język bo ja za późno się urodziłem aby mieć go w szkole a mamuśka nie chciała mnie uczyć zresztą prawdopodobnie była mierną nauczycielką

Krzysiek:

	1		1+sinx
A jak przejść z		ln		do właśnie ln(secx+tanx) ?
	2		1−sinx

Adamm:

1+sinx		(1+sinx)2		1+sinx
	=		=(		)2=(secx+tgx)2
1−sinx		1−sin2x		cosx

calka:

	cosx
∫		dx=cscx
	sin2x

Jak obliczyc ta calke nie uzywajac funkcji kosekans?

Adamm: t=sinx

Mariusz: Dla całek postaci ∫R(x,√a²−x²)dx podstawienie Eulera √a²−x²=(a−x)t sprowadzi ci funkcję podcałkową do funkcji wymiernej Wobec powyższego oraz jedynki trygonometrycznej wnosisz że podstawienie cosx=(1−sinx)t sprowadzi ci całki postaci ∫R(cosx,sinx)dx do całek z funkcji wymiernej Możesz pobawić się podstawieniami Eulera aby wymyślić kolejne podstawienia pierwsze podstawieniami Eulera jest do pary (secx,tanx) a drugie i trzecie podstawieniami Eulera można wykorzystać do pary (cosx,sinx)