(sin x + cos x) * sin 6x = p{2} Pablo: Witam, Potrzebuję pomocy z zadaniem: (sin x + cos x) * sin 6x = √2 rozpisałem sin 6x na sin(3x+3x)=2sin3x, ale nie wiem co dalej. (sin x + cos x)*sin3x= √2/2 ?

relaa: |sin(x) + cos(x)| ≤ √2 |sin(6x)| ≤ 1 Jeżeli, więc istnieje rozwiązanie to sin(x) + cos(x) = √2 ∧ sin(6x) = 1

	π
sin(x +		) = 1 ∧ sin(6x) = 1
	4

	π		π		π
x +		=		+ k • 2π ∧ 6x =		+ k • 2π
	4		2		2

	π		π		π
x =		+ k • 2π ∧ x =		+ k •		⇒ sprzeczność
	4		12		3

lub sin(x) + cos(x) = −√2 ∧ sin(6x) = −1

	π		π		π
x +		= −		+ k • 2π ∧ 6x = −		+ k • 2π
	4		2		2

	3		π		π		3
x = −		π + k • 2π ∧ x = −		+ k •		⇒ x = −		π + k • 2π
	4		12		3		4

ElizaR: Jeśli się nie zauważy, że suma sinx + cosx jest ograniczona przez ±√2 ( a jak się nie wie, to się tego nie zauważy...). to jest inny sposób na rozwiązanie tego zadania: Dzieląc obustronnie przez √2 otrzymamy: (sinx• (√2/2) +cosx• (√2/2))• sin6x =1 ⇔ sin(x+45^o) • sin6x = 1 Teraz można zastosować rozumowanie: iloczyn dwóch sinusów jest równy 1 wtw kiedy obydwa są jednakowych znaków i równe bądź 1 bądź −1...

relaa: Według mnie to te same rozwiązanie i tyle.

ElizaR: Tak, ale łatwiejsze ( z punktu widzenia dydaktyki ) rozumowanie ( jest większe prawdopodobieństwo, że rozwiązujący «wpadnie» na trop gdy zobaczy jedynkę...)

Pablo: Dzięki

XL: Strach pomagać , gdy wpadła Eliza na forum