Funkcja wymierna z parametrem Bombi: Dla jakich wartości parametru m (m∊R) zbiór rozwiązań nierówności (m−1)x²+(m+2)x+m−1≤0 zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności

1−2x
	≥1?
x2+1

Najpierw rozwiązuję pierwszą nierówność, z której otrzymuję x∊<−2;0> Następnie daję warunki:

⎧	−2<p<0
⎨	f(−2)>0
⎩	f(0)>0

Otrzymuję następujące przedziały:

⎧	m∊(−∞;1)∪(4;+∞)
⎨	m≥3
⎩	m≥1

Zatem rozwiązaniem powinien być przedział (4;+∞) jako część wspólna, a w odpowiedziach jest to m∊<3;+∞). Wynika z tego, że warunek z wierzchołkiem paraboli jest zbędny, jednak moim zdaniem jest on potrzebny. Widziałam to zadanie rozwiązane na tym forum, wynikiem było właśnie (4;+∞), ale martwi mnie to, że w odpowiedziach jest inaczej. I co z deltą? Czy nie należałoby dać warunku, że Δ≥0? W poniedziałek mam sprawdzian i nie mam możliwości zapytania nauczyciela, dlatego bardzo proszę o pomoc.

Tadeusz: ... oczywiste, że zacząć musisz ...od nierówności drugiej

Jerzy: Warunki dla trójmianu: 1) Δ ≥ 0 2) x_w ∊ [−2:0] 3) f(0)*(m−1) > 0 4) f(−2)*(m−1) > 0

Tadeusz:

1−2x
	≥1 mianownik dla x∊R dodatni ...zatem:
x2+1

1−2x≥x²+1 ⇒ x²+2x≤0 x(x+2)≤0 x∊<−2, 0> dopiero teraz zabierz się za nierówność pierwszą tzn. dobierz takie wartości m dla których zbiór rozwiązań nierówności tej zawiera się w policzonym zbiorze

Bombi: Tak, miałam na myśli zaczęcie od drugiej nierówności. Jerzy − dlaczego f(0)*(m−1) > 0 i f(−2)*(m−1) > 0? Skąd ten warunek? Dlaczego nie po po prostu f(−2)>0 i f(0)>0? Czy mógłby ktoś to wytłumaczyć? Z warunku Δ≥0: Δ=(m+2)²−4(m−1)²= −3m²+12m −3m²+12m≥0 −m(3m−12)≥0 m∊<0;4> W odpowiedziach jest m∊<3;+∞), więc niezależnie od dalszych warunków nie otrzymamy takiego przedziału...

Jerzy: Bo musisz rozpatrywać dwa przypadki: m − 1 > 0 oraz m − 1 < 0 , ( cztery warunki ) a to załatwiają jednocześnie tylko dwa warunki: f(0)*(m−1) > 0 i f(−2)*(m−1) > 0

Bombi: Jerzy − dziękuję, już rozumiem Tylko czy nierówności nie powinny być słabe? Rozwiązania mają zawierać się w przedziale domkniętym x∊<−2, 0> + nie pasuje mi tu warunek z deltą. To znaczy, według mnie powinno się go uwzględnić (bo skoro mówimy o rozwiązaniach, to muszą one przecież istnieć). Po przeliczeniu jeszcze raz wszystkich warunków podanych przez Jerzego (zmieniłam tylko nierówności na słabe) wyszło mi:

⎧	m∊<0;4> (z delty)
⎜	m∊(−∞;−2>∪<2;+∞)
⎨	m∊R
⎩	m∊<3; +∞)

Częścią wspólną tych zbiorów niestety nie jest m∊<3; +∞) podane w odpowiedziach. Może warunek Δ≥0 nie jest jednak konieczny? Bo w końcu zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze