Rozwiązania Sandru: Ile rozwiązań w liczbach całkowitych spełniających nierówności |x|<2017 i |y|<2017 ma równanie (x−y)²=x+y?

Sandru: Ma ktoś pomysł?

Pytający: Masz odpowiedź? 127?

Adamm: stworzyłem prosty program, wynik 127

q: w wolframie pokazuje 127

Pytający: x²−2xy+y²−x−y=0 x²+(−(2y+1))x+y²−y=0 Δ=4y²+4y+1−4y²+4y=8y+1

	−1
8y+1≥0⇒y≥
	8

	2y+1 ± √8y+1		1±√8y+1
x=		=y+
	2		2

Aby x był całkowity 1±√8y+1 musi być parzyste ⇒ √8y+1 musi być nieparzyste, a więc postaci: 2k+1=√8y+1, gdzie k całkowite

	k(k+1)
4k2+4k+1=8y+1 ⇒ y=
	2

To jest parabola, miejsca zerowe to k=0 i k=−1. Interesują nas unikatowe igreki, więc zajmijmy się tylko tymi od 0 w górę. Mamy:

	k(k+1)
y=		≤2017 ⇒ k≤63
	2

Zatem mamy 64 (0..63) różne wartości k, dla których otrzymamy różne igreki. Dla każdego igreka mamy 2 różne pary x, y.

	1±√8y+1		1±(k+1/2)
x=y+		=y+
	2		2

x=y+k+1 ∨ x=y−k Z tego względu dla k=63 odpada rozwiązanie x=y+k+1=63*32+63+1=2080 (wypadałoby zapisać nierówność z iksem). Łącznie zatem 64*2−1=127 rozwiązań całkowitych.

Pytający: Mała pomyłka (nie wpływająca na dalszy ciąg):

	1±√8y+1		1		1
x=y+		=y+		±(k+		)
	2		2		2