rownanie calka :

	d
Rozwiaz rownanie		y(t)=y(t), (y'(t)=y(t))
	dt

Rownanie o zmiennych rozdzielonych to y'(t)=f(t)g(y(t)). W tym rownaniu czym jest f(t) i g(y(t)), bo ono nie wyglada jak postac rownania o zmiennych rozdzielonych?

jc: f(t)=1, g(y)=y

Adamm:

1
	dy=dx
y

ln|y|=x+c y=c*e^x

Adamm: zamień x na t i masz rozwiązanie

calka:

	d
Jak inaczej zapisac		w tym rownaniu?
	dt

Jak je przeksztalcic do tego ogolnego rownania o zmiennych rozdzielonych?

calka: ?

Adamm:

dy
	=y
dt

1
	dy=dt
y

calka : Nie rozumiem. Wiem, ze f(t)=1 oraz g(y(t))=y(t).

	d		d		dy
L=		*y(t);		=		=y'(t); L=y'(t)*y(t)
	dt		dt		dt

P=f(t)*g(y(t))=1*y(t)=y(t) Dobrze?

calka : ?

calka : ?

Adam: to nie jest znak mnożenia tylko jeden nierozrywalny wyraz!

calka : Czyli? Jaka jest lewa strona rownania?

calka :

	dy		dy(t)		d
Czyli		=		=		y(t)=y'(t).
	dt		dt		dt

Zatem L=y'(t). y'(t)=y(t) /:y(t) (zakladajac, ze y(t)≠0)

y'(t)
	=1 calkujac mam
y(t)

	y'(t)
∫		dt=∫1dt
	y(t)

ln|y(t)|=t+C, C∊R |y(t)|=e^t+C y(t)=±e^t+C Dobrze?

calka: ?

Jerzy: y = +/− C*e^t

calka : Dlaczego?

Jerzy: e^t+C₁ = e^t*e^C₁ = C*e^t

calka : W sensie e^C₁=C tak?

Jerzy: Dokładnie , to stała.

calka : Dziekuje. A jakbym zostawil y(t)=±e^t+C to tez mogloby byc prawda czy to juz blad?

calka : Majac warunek poczatkowy y(t₀)=y₀, wylicze C. Wtedy mam C=ln|y₀|−t₀ i podstawiam do y(t) zatem y(t)=±|y₀|e^t−t₀. Czy mozna to jeszcze uproscic?

Jerzy: To już zależy od oceniajacego ( błędem to nie jest ) .

Jerzy: y = C*e^t y(t₀) = y₀

	y0
y0 = C*et0 ⇔ C =
	et0

calka: Czyli ostatecznie y(t)=±y₀*e^t−t₀ tak?

Jerzy: Dokładnie.