Indukcja Indukcja: Hej mam taki problem z zadaniem z indukcji... Chodzi o ciąg fibonacciego i uzasadnienie, że a(n+8)≡ a(n) mod3. Gdzie ciąg fibonaciego to a(1)=1, a(2)=1, a(n)=a(n−1)+a(n−2), dla n≥3. Można obliczyć, że a(9)≡ a(1) mod3, a(10)≡ a(2) mod3 i a(11)≡ a(3) mod3 No i właśnie teraz mam problem bo nie wiem jak uzasadnić przypadek ogólny, gdzie zakładamy prawdziwość dla jakiegoś n i udowadniamy dla n+1. Umiałbym to zrobić zakładając że a(n+8)≡ a(n) mod3 i a(n+9)≡ a(n+1) mod3. I wtedy udowodnić dla a(n+10)≡ a(n+3) mod3. Ale nie wiem czy tak można...

KKrzysiek: F₁ = F₂ = 1 F_n+2 = F_n+1 + F_n 2|F_3n dla n ∊ N Z.i. 2|F_3k T.i. 2|F_3(k+1) F_3(k+1) = F_3k+2 + F_3k+1 = F_3k + F_3k+1 + F_3k+1 = F_3k + 2(F_3k+1) mod2

Indukcja: Krzysiek, fajny dowód tyle, że nie to chciałem wykazać...

KKrzysiek: no tak, w sumie nie wiem po co to napisałem, lece spać, bo ostatnio do 6 nad ranem przesiaduje

jc: Rozpatrujemy ciąg a_n = f_n+8 − f_n. a_n+1 = a_n + a_n−1. Wystarczy więc, aby a₁ i a₂ były podzielne przez 3. Wypiszmy f₁, f₂, ..., f₉, f₁₀. Patrzymy tylko na reszty z dzielenie przez 3. n: 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 f_n: 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1 Widzimy, że faktycznie a₁ i a₂ dzielą się przez 3.

Indukcja: Hmm nie do końca rozumiem o co ci chodzi... Poza tym zastanawiałem się nad dowodem indukcyjnym a nie sprawdzeniem pierwszych 10 przypadków. To zrobić umiem

Adamm: ciąg a_n powstaje przez sumę pewnej wielokrotności a₁ oraz pewnej wielokrotności a₂ musi być podzielne przez 3

Indukcja: a_n nie musi być podzielny przez 3... Znowu nie rozumiem o co wam chodzi... A wielokrotnościami a1 i a2 jest każda liczb naturalna.

Adamm: jeśli chcesz dowód przez indukcję to to co napisał jc jest takim dowodem po prostu nie napisał tego wprost to że a₁ oraz a₂ są podzielne przez 3 jest naszą bazą zakładamy że a_n oraz a_n−1 jest podzielne przez 3 a_n+1=a_n+a_n−1 jest również podzielne przez 3 to jest właśnie część indukcyjna