Ostatnie zadanie z konkursu matematycznego dla szkół średnich etap szkolny. Radek: Na bokach BC i CD kwadratu ABCD dane są punkty K i H odpowiednio w taki sposób, że |KC|=2|KB| i |HC|=|HD|. Udowodnij równość kątów AKB i AKH.

Adamm: trójkąty ASK oraz ABK są przystające kbk

Adamm: cofam to, zaznaczyłem kąty jako równe na rysunku i dlatego tak napisałem

Adamm: moja propozycja: obliczyć boki |HK|, |AK|, |AH| z tw. Pitagorasa z tw. Cosinusów wykazać że cosinusy kąta AKB oraz kąta AKH są równe

Kacper:

Radek: Pomimo wszelkich starań nie chce wyjść |AK|=x√13 |KH|=x√3,25 |AH|=x√11,25 Tw cosinusów: 9x²=4x²+13x²−4x²√13cosα 11,25x²=13x²+3,25x²−13x²cosα 9x²=17x²−4x²√13cosα 11,25x²=16,25x²−13x²cosα 4x²√13cosα=8x² 13x²cosα=5x² dzielimy przez x² i zostaje: 4√13cosα=8 13cosα=5

	2√13
cos1α=
	13

	5
cos2α=
	13

Jeśli ktoś widzi błąd lub jakieś czy też błędy kardynalne to proszę zgłaszać ale na konkursie nie można było mięć żadnych kalkulatorów więc wydaje mi się, że musi być inne dużo prostsze wyjście

Adamm: to jest bardzo proste podejście a kalkulatora nie potrzeba do tak prostych obliczeń

Radek:

	5		2√13
proste nie proste ale		≠		:c
	13		13

Radek: Na bokach BC i CD kwadratu ABCD obrano punkty E i F tak, że |EC| = 2|EB| i |FC| = |FD|, Wykaż, że kąt AEB i kąt AEF są równe. Szukajcie w google a znajdziecie ^^

Eta: |AK|²=20x² , |KH|²=25x² , |AH|²= 45x²

	2x		1
w ΔABK cosα=		=
	2√10x		√10

w ΔAKH z tw. kosinusów

	25x2+20x2−45x2		1
cosα=		= ....... =
	2*5x*2√10x		√10