Zadanie konkursowe z etapu szkolnego Radek: Uzasadnij że liczba zapisana w postaci: 7³0−8*7²0+15*7¹0 jest podzielna przez 56

Radek: Uzasadnij że liczba zapisana w postaci: 7³⁰−8*7²⁰+15*7¹⁰ jest podzielna przez 56

Adamm: 7³⁰−8*7²⁰+15*7¹⁰=7¹⁰(7²⁰−8*7¹⁰+15)= =7¹⁰(7¹⁰−3)(7¹⁰−5) 56=2³*7 wystarczy udowodnić że liczba dzieli się przez 2³ bo przez 7 dzieli się na pewno zauważ że ostatnie cyfry 7¹⁰−5 to 44 zatem dzieli się przez 4 również 7¹⁰−3 dzieli się przez 2 zatem cała liczba dzieli się przez 56

Radek: Dzięki wielkie teraz nabrało to sensu ^^ Mógłbyś jeszcze mi powiedzieć w jaki sposób udało Ci się tak fajnie zamienić ten nawias na 2 iloczyny? Jest na to jakaś metoda?

Adamm: podstaw x=7¹⁰ dostajesz x²−8x+15 teraz sprowadzając do postaci iloczynowej mamy (x−3)(x−5) wystarczy teraz wrócić do 7¹⁰

Radek: Dzięki wielkie jeszcze raz teraz już rozumiem

Adamm: jeśli chodzi o podzielność 7¹⁰−5 przez 4 można to zrobić bardzo łatwo zauważając że ostatnie 2 cyfry 7ⁿ powtarzają się okresowo 07, 49, 43, 01