Maturalne mat1510: Niech a_n oznacza sumę wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 3 i mniejszych bądz równych 3n. Natomiast b_n oznacza sumę wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez 3 i mniejszych bądz równych 3n. Wyznacz granicę ilorazu a_n przez b_n przy n dążacym do nieskonczoności. Nawet nie wiem jak sie zabrac.

Pytający: Mamy takie ciągi arytmetyczne: c_n=3n−2 (c₁=1, r=3) // 1,4,7,...,3n−2 d_n=3n−1 (d₁=2, r=3) // 2,5,8,...,3n−1 e_n=3n (e₁=3, r=3) // 3,6,9,...,3n Oznaczmy sumy ich n−początkowych wyrazów:

	1+3n−2		3n−1
Sc=		n=		n
	2		2

	2+3n−1		3n+1
Sd=		n=		n
	2		2

	3+3n
Se=		n
	2

Wtedy:

	an		Se
limn→∞		=limn→∞		=
	bn		Sc+Sd

	3+3n   n 2		n+1		1
=limn→∞		=limn→∞		=
	3n−1   3n+1   n+ n 2   2		2n		2