Udowodnij, że (nierówność z wartością bezwzględną) Pati_00: Zadanie Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y takich, że |x|≠|y|,

	(x−y)(x3+y3)		1
prawdziwa jest nierówność		>		.
	(x+y)(x3−y3)		3

3Silnia&6: (x³ + y³) = (x+y)(x² − xy + y²) (x³ − y³) = (x−y)(x² + xy + y²) po posdstawianiu:

(x2 − xy + y2)
x2 + xy + y2)

dla y = 0 mamy 1 > 1/3 − ok y ≠ 0 podstawiam x/y = t, otrzymuje:

t2 − t + 1
	> 1/3 ⇔ 3(t2 − t + 1) − t2 − t − 1 > 0 ⇔
t2 + t +1

⇔ 2t² − 4t + 2 = 2(t − 1)² > 0 c.b.d.o

Pati_00:

	x
Rozumiem pierwszą część, ale nadal mam problem z podstawieniem		=t,
	y

jak z x² zrobi mi się t², przy jednoczesny xy=t i y²=1?

Jack: ... przksztalcajac nierownosc rownowaznie :

x2 −xy + y2		1
	>
x2 + xy + y2		3

3(x2 −xy + y2)
	> 1
x2 + xy + y2

3(x2 −xy + y2)		x2 + xy + y2
	−		> 0
x2 + xy + y2		x2 + xy + y2

2x2−4xy+2y2
	> 0
x2 + xy + y2

2(x2−2xy+y2)
	> 0
x2 + xy + y2

(x−y)2
	> 0
x2 + xy + y2

nierownosc (x−y)² > 0 dla dowolnych x,y ∊ℛ, |x|≠|y| z kolei nierownosc x²+xy+y² > 0 dla dowolnych x,y ∊ ℛ (co mozna bardzo prosto wykazac).

Jack: *Zatem nierownosc poczatkowa jest prawdziwa

3Silnia&6:

x2 − xy + y2
	= // dziele wszyskie wyrazenie przez y2 // =
x2 + xy + y2

	x2   xy   y2   ( − + )   y2   y2   y2
=		=
	x2   xy   y2   ( + + )   y2   y2   y2

	t2 − t +1
=
	t2 +t + 1

Pati_00: Super, dziękuję bardzo