Trudny dowód.
zagubiony: Wykazać, że liczba √2+√3 jest niewymierna. Znaleźć wielomian o współczynnikach
całkowitych, którego pierwiastkiem jest ta liczba.
4 mar 13:41
zagubiony: Proszę o pomoc!
4 mar 15:02
Jack: suma liczb niewymiernych jest liczba niewymierna.
4 mar 15:05
Jack: chociaz dobra, jednak nie, bo mozna sie uprzec ze dodajemy liczby przeciwne.
w takim razie dowod nie wprost
4 mar 15:06
zagubiony: A mógłbyś mi pomóc go zacząć?
4 mar 15:06
3Silnia&6:
x = √2 + √3 / ()2
x2 = 2 + 2√6 + 3 = 5+ √6
x2 − 5 = 2√6 /()2
x4 − 10x2 + 25 = 4*6
x4 − 10x2 + 1 = 0
W(x) = x4 − 10x2 + 1
4 mar 15:30
Jack:
Dowod nie wprost.
Zalozmy ze liczba
√2+
√3 jest liczba wymierna, oznaczmy liczbe wymierna "w"
(w jako wymierna
)
wtedy
√2 +
√3 = w
podnoszac do kwadratu mamy
2 + 2
√6 + 3 = w
2
2
√6 = w
2 − 5
Prawa strona :
skoro w jest liczba wymierna, to w
2 rowniez jest liczba wymierna.
liczba wymierna odjac 5 to nadal liczba wymierna i po podzieleniu przez 2 uzyskamy liczbe
wymierna.
Lewa strona to
√6 czyli liczba niewymierna.
stad dochodzimy do sprzecznosci bo L ≠ P.
c.k.d.
(Nie wiem czy tak to powinno wygladac, ale chyba jest ok).
co do tego wielomianu, no to po prostu zapisujemy
√2 +
√3 = x /
2
2 + 2
√6 + 3 = x
2
5 + 2
√6 = x
2
2
√6 = x
2 − 5 /
2
4*6 = x
4 − 10x
2 + 25
x
4 − 10x
2 + 25 − 24 = 0
x
4 − 10x
2 + 1 = 0
4 mar 15:33
zagubiony: @3Silnia&6: dziękuje za pomoc co do tej części zadania!
Czy masz może pomysł jak przeprowadzić dowód?
4 mar 15:33
zagubiony: @Jack, bardzo dziękuje za rozwiązanie!
Wszystko jest dla mnie jasne i przejrzyste.. tylko się tak zastanawiam: czy nie powinno się
zatem jeszcze udowodnić, że i liczba √6 jest niewymierna..
4 mar 15:36
Adamm: twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu
4 mar 15:37
zagubiony: Czyli powołać się na to twierdzenie i pokazać że równanie x2−6=0 nie ma
wymiernych rozwiązań?
4 mar 15:39
4 mar 15:40
4 mar 15:40
zagubiony: Rozumiem. Bardzo serdecznie dziękuje wszystkim za pomoc!
4 mar 15:41