Grupy i ciała Omikron: Rozwiązać w ciele (K,+,*), gdzie K={0,1,...,4}, równanie 4*x+2=2*x+1 Wszystkie znaki działań otoczone są okręgami. Zwykłe rozwiązanie równania nie daje poprawnego wyniku, niezbyt łapię jak rozwiązać je w ciele.

Mila: x=2 ?

Omikron: Tak

KKrzysiek: Przenieś na lewą stroną 2x, podziel przez element odwrotny w ciele Z₅ i masz wynik x=2

KKrzysiek: Rozwiązanie: 4x+2 = 2x+1 2x= 4 x = 4°3 = (4*3)_Z5 = 2

KKrzysiek: Można też

	4
x=		= 4 * 2−1, ale to jest to samo
	2

KKrzysiek: Zresztą zobacz 06:35 2x=4

	4
to x =		= 2 ∊ Z5 , i to już jest nasz wynik
	2

Omikron: A jak mogę sprawdzić co jest elementem odwrotnym w ciele Z₅? Nie mam podanego działania w tym ciele. Dlaczego (4*3)_Z5=2?

Atraque: Element odwrotny wyznacza się niezależnie od działania. Przecież ciało jest grupą abelową.

Mila: 4*3=12=2(mod5)

Omikron: Czy (4*3)_Z5=2 dlatego, że 12 mod 5= 2? Niestety na wykładzie miałem podane jedynie warunki, które muszą być spełnione, by grupa była ciałem, a na ćwiczeniach przeszliśmy od razu do liczb zespolonych, więc muszę to na własną rękę zrozumieć.

Mila: 4*x+2=2*x+1 4x−2x=−1 2x=−1 [−1=(−1+5=4) (mod5),] 2x=4 szukasz odwrotnego elementu do 2 2*1=2(mod5) 2*2=4(mod5) 2*3=6=1(mod5) 2x=4 /*3 2*3x=12 1x=2 w Z₅

Mila: W bardziej skomplikowanych równaniach do wyznaczenia odwrotnego elementu korzystasz z rozszerzonego algorytmu Euklidesa.

Omikron: Chyba w miarę już to rozumiem, dziękuję bardzo Jeszcze spróbuję później na innych przykładach.