Wielomiany
AMF: Witam, pojutrze mam zaliczeniowe kolokwium z algebry z wielomianów. Rozwiązałem wszystkie
zadania z listy, ale tego jednego po prostu nieczaje za nic w świecie... Czy ktoś wie jak to
ugryźć?
Pokazać, ze jeżeli liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P, to
sprzężenie liczby z1
takze jest pierwiastkiem wielomianu P. Korzystajac z tego faktu znalezc pozostale pierwiastki
zespolone wielomianu P (x) = x4 + 12x2 − 16x+15 wiedzac, ze jednym z nich jest x1 = 1+2i:
18 sty 22:21
kinia: dlaczego nikt nie wie...
13 lis 22:43
Mila:
Skoro (1+2i) jest pierwiastkiem tego wielomianu to (1−2i) też jest pierwiastkiem
Spr.
W(1−2i)2=(1−2i)4+12(1−2i)2−16(1−2i)+15=
=(1−4i−4)2+12*(−3−4i)−16+32i+15=(−3−4i)2−36−48i−16+32i+15=
=9+24i−16−16i−37=8i−44≠0
coś źle masz w treści.
Popraw.
13 lis 23:57
Janek191:
@Mila
To zadanie jest z 18 stycznia 2010 r.
14 lis 00:18
Mila:
No widzisz, odpowiedziałam na apel kini, która i tak olała moją odpowiedź.
14 lis 00:32
Magda: Witam!
Nie mogę poradzić sobie z tym zadaniem. Właściwa treść brzmi:
Pokazać, ze jeżeli liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P, to
sprzężenie liczby z1
takze jest pierwiastkiem wielomianu P. Korzystajac z tego faktu znalezc pozostale pierwiastki
zespolone wielomianu P (x) = x4 − 4x3 12x2 − 16x+15 wiedzac, ze jednym z nich jest x1 = 1+2i
Bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam
12 gru 13:31
Mila:
P (x) = x4 − 4x3 +12x2 − 16x+15
Jeżeli (1+2i jest pierwiastkiem P(x)⇔P(1+2i)=0
Sprawdzamy czy P(1−2i)=0
(1−2i)4=[(1−2i)2]2=[−3−4i]2=9+24i+16i2=−7+24i
(1−2i)3=(1−2i)2*(1−2i)=(−3−4i)*(1−2i)=(−11+2i)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
P(1−2i)=(1−2i)4−4*(1−2i)3+12*(1−2i)2−16*(1−2i)+15=
=−7+24i−4*(−11+2i)+12*(−3−4i)−16+32i+15=
=−7+24i+44−8i−36−48i+32i−1=
=56i−56i+37−37=0
Skoro
P(x) jest podzielny przez [x− (1+2i)] i przez [x−(1−2i) ] to jest podzielny przez
[x− (1+2i)]* [x−(1−2i) ]⇔ że jest podzielny przez
(x−1−2i)*(x−1+2i)=(x−1)2−(2i)2=(x2−2x+1−4i2)=x2−2x+5
Teraz można wykonać dzielenie:
(x4 − 4x3 +12x2 − 16x+15) : (x2−2x+5)=x2−2x+3
−(x4−2x3+5x2)
−−−−−−−−−−−−
−2x3+7x2
−(−2x2+4x2−10x)
−−−−−−−−−−−
3x2−6x+15
−(3x2−6x+15)
−−−−−−−−−−
R(x)=0
P(X)= (x2−2x+5)*(x2−2x+3 )
x2−2x+3=0 licz pierwiastki
12 gru 19:13
Magda: Dziekuje!
13 gru 23:44
Mila:
13 gru 23:58