A takie zadanko Zdzisław: Udowodnij dla n>1 poniższą nierówność:

2n n		n 1
	<2*

(2n)!		n!
	>2*(		)
n!(2n−n)!		(n−1)!

(2n)!		2n!
	>		)
n!n!		(n−1)!

(2n)!		2n(n−1)!
	>		)
n!n!		(n−1)!

(2n)!
	>2n
n!n!

Tutaj się zatrzymałem i nie wiem co dalej, czy robię gdzieś błąd?

Jerzy: Masz błąd 2n! = (2n − 1)!*2n

marcin: rozpisz 2n! na 2n*(2n−1)!

Adamm: nie rozumiem, przecież tam jest 2n! a nie (2n)!

Zdzisław: A to nie jest coś takiego właśnie? 2n!=2(n!)=2*(n−1)!*(n) Bo mi sie właśnie wydaje, że (2n)! = (2n−1)!*2n

Jerzy: Tak...moja pomyłka.

Adamm: najlepiej teraz byłoby udowodnić to indukcyjnie (2n)!>(n!)²*2n 1. (2*2)!=4*3*2*1>4*4=(2!)²*2*2 2. założenie (2n)!>(n!)²*2n 3. (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!>(2n+2)(2n+1)(n!)²*2n>(2n+2)(n+1)(n!)²(n+1)= =((n+1)!)²2*(n+1) na mocy indukcji zostało udowodnione

Adamm: teraz widzę jednak masz błąd, ale raczej w zapisie

	2n n		n 1
pierwsza linijka,		<2*

Zdzisław: Tak tak, tam powinno być:

2n n		n 1
	>2*

Zdzisław: Hmm nie do końca rozumiem pkt 3. twojej metody

Adamm: wcale mi to nic nie mówi, wiesz

Zdzisław: dlaczego po obu stronach nierówności znalazło się (2n+2)(2n+1)?

Adamm: wyciągnąłem (2n+2)(2n+1) z (2n+2)! i wyszedłem z tego co już mam

Zdzisław: Czyli pkt 3. polega na tym aby podstawić za każde n, "n+1" ?

Adamm: punkt 3 polega na tym by wychodząc z kroku n dojść do n+1

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Indukcja_matematyczna

Adamm: najłatwiejszym przykładem indukcji matematycznej jest wzór na sumę n początkowych liczb naturalnych

	(n+1)n
1+...+n=
	2

	(1+1)*1
1. 1=
	2

	(n+1)n
2. założenie 1+...+n=
	2

	(n+1)n		(n+2)(n+1)
3. 1+...+n+(n+1)=		+(n+1)=
	2		2

na mocy indukcji wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych został udowodniony dla n≥1

Zdzisław: (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!> (2n+2)(2n+1)(n!)²*2n Hmm w takim razie skąd po prawej stronie ten kawałek?

Adamm: skorzystałem z założenia indukcyjnego wiemy że (2n)!>(n!)²*2n bo tak założyliśmy

Zdzisław: (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!>(2n+2)(2n+1)(n!)²*2n>(2n+2)(n+1)(n!)²2*(n+1)= =((n+1)!)² 2*(n+1) Czy tam powinna być ta dwójka? U Ciebie tego nie ma a w założeniu jest

Adamm: nie powinna w założeniu jest (n!)²*2n

Zdzisław: To ja już nie wiem skąd wzięła się ta cała prawa strona: "(2n+2)(2n+1)(n!)²*2n"

Adamm: z założenia indukcyjnego mamy (2n)!>(n!)²2*n mnożąc obustronnie razy (2n+2)(2n+1) dostajemy (2n+2)(2n+1)(2n)!>(2n+2)(2n+1)(n!)²2*n ponieważ 2n+1>n+1 oraz 2n>n+1 mamy (2n+2)(2n+1)(n!)²2*n>(2n+2)(n+1)(n!)²(n+1) ale (2n+2)(n+1)(n!)²(n+1)=((n+1)!)²*2(n+1) zatem wykazaliśmy że (2(n+1))!>((n+1)!)²*2(n+1) co mieliśmy wykazać

Zdzisław: A gdyby zadanie wyglądało tak?

2n n		n 1
	>2*

(2n)!		1*2*3*...*n*(n+1)(n+2)...(2n−1)(2n)
	=		=
n!n!		1*2*3*...*n*1*2*3*...n

(n+1)(n+2)...(2n−1)(2n)
	=
1*2*3*...n

	n+1		n+2		n+4		2n−1
2n*		*		*		...*		>2n*1*1*...*1
	2		3		4		n

?

Adamm: może być