Całka Janusz : Proszę o pomoc z całka: ∫dx/((x+1)√1−x)

Jack:

	1
∫		dx =
	(x+1)√1−x

podstawieniem t² = 1−x −−−> 2tdt = −dx −−−−> −2tdt = dx oraz x = 1−t² x+1 = 2−t² zatem

	−2t		−1		1
... = ∫		dt = 2 ∫		dt = 2 ∫		dt = albo na ulamki proste
	(2−t2)*t		2−t2		t2−2

albo tak

	1		1
= 2 ∫		dt = ∫		dt = podstawiamy teraz :
	t2   2( −1)   2		t2   −1 2

	t
u =
	√2

	t2
u2 =
	2

	1
du =		dt (to z pierwszej linijki tego podstawienia)
	√2

	1
zatem = √2 ∫		du = wzor elementarny
	u2−1

ten wzor to

	dx		1		x−a
∫		dx =		ln|		|+C
	x2−a2		2a		x+a

	1		x−1
zatem ... = √2 *		ln|		| + C =...
	2		x+1

i wracamy z podstawieniami

karty do gry: Wskazówka dl Janusza: Zastosuj podany wzór "elementarny" dla całki :

	1
∫		dt
	t2 − 2

Podstawienie t = √2ctgh(u) też zadziała.

Mariusz: √1−x=(1−√x)t (1−√x)(1+√x)=(1−√x)²t² 1+√x=(1−√x)t² 1+√x=t²−√xt² √x+√xt²=t²−1 √x(1+t²)=t²−1

	t2−1		2
√x=		=1−
	t2+1		t2+1

1		2t(t2+1)−2t(t2−1)
	dx=		dt
2√x		(t2+1)2

1		8t
	dx=		dt
√x		(t2+1)2

	t2−1	8t
dx=			dt
	t2+1	(t2+1)2

	t3−t
dx=8		dt
	(t2+1)3

	t4+1
x+1=2
	(t2+1)2

	2t
√1−x=
	t2+1

	(t2+1)2	t2+1		t3−t
∫			8		dt
	2(t4+1)	2t		(t2+1)3

	t2−1
2∫		dt
	t4+1

	2t2−2
∫		dt
	(t2−√2t+1)(t2+√2t+1)

At+B		Ct+D		t2−1
	+		=2∫		dt
t2−√2t+1		t2+√2t+1		t4+1

(At+B)(t²+√2t+1)+(Ct+D)(t²−√2t+1)=2t²−2 At³+√2At²+At+Bt²+√2Bt+B+Ct³−√2Ct²+Ct+Dt²−√2Dt+D=2t²−2 (A+C)t³+(√2A−√2C+B+D)t²+(A+C+√2B−√2D)t+B+D=2t²−2 C=−A (2√2A+B+D)=2 D=B 2B=−2 √2A=2; A=√2 C=−√2 B=−1 D=−1

	√2t−1		√2t+1
∫		dt−∫		dt
	t2−√2t+1		t2+√2t+1

	√2		2t−√2		√2		2t+√2
=		∫		dt−		∫		dt
	2		t2−√2t+1		2		t2+√2t+1

	√2		t2−√2t+1
=		ln|		|+C
	2		t2+√2t+1

√2		x−3+2√2√1−x
	ln|		|+C
2		x+1

Janusz : Bardzo dziękuje