zadanka
Pełcio: Z innej beczki teraz.
| | a | | b | | 1 | |
1. Znaleźć wszystkie a,b dla których |
| + |
| + |
| ∊N |
| | b | | a | | 2 | |
2. Założenia: a,b∊ℤ bez 0
ab|a
2−b
2
Teza: |a|=|b|
3. Każdy uczestnik pewnego przyjęcia ma wśród pozostałych osób dokładnie 3 znajomych.
Czy możliwe, że w przyjęciu tym uczestniczy 99 osób?
4. W balu wzięło udział 102 królewiczów i 103 królewny. Po balu okazało się, że każdy królewicz
zatańczył z taką samą liczbą królewien. Udowodnij, że pewne dwie królewny zatańczyły z taką
samą liczbą królewiczów.
22 lut 19:10
olekturbo: 4. zasada szufladkowa dirichleta
22 lut 19:12
Pełcio: ok, 4 już wiem, dzięki
22 lut 19:16
3Silnia&6: 3) jezeli polaczmy ze soba osoby, ktore sie znaja. Otrzymamy graf z nieparzysta liczba
nieparzystych wierzcholkow co jest nie mozliwe. Odp. Nie
22 lut 19:23
3Silnia&6: niemozliwe*
22 lut 19:26
Pełcio: I tyle wystarczy?
22 lut 19:59
3Silnia&6: tak
22 lut 20:03
Pełcio: Dziękuję
22 lut 20:05
3Silnia&6: | | a2 − b2 | |
2) szukamy liczb a,b, dla ktorych |
| ∊ N |
| | ab | |
| a2 − b2 | | (a−b)(a+b) | | 1 | | 1 | |
| = |
| = (a−b)( |
| + |
| ) |
| ab | | ab | | a | | b | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
(a−b)( |
| + |
| ) jest wymierne ⇔ |
| + |
| − wymierne v a = b |
| | a | | b | | a | | b | |
| 1 | | 1 | |
| + |
| − wymierne ⇔ a = −b |
| a | | b | |
wiec |a| = |b|
22 lut 20:08
Pełcio: | | 1 | | 1 | |
Z czego to wynika? |
| + |
| wymierne ⇔ a=−b? |
| | a | | b | |
22 lut 20:13
3Silnia&6: 1) dowolne dwie liczby rzeczywiste a,b ≠ 0 mozemy "przeksztalcic" w a,C*a , gdzie C = b/a
| | 1 | | 1 | |
Podstawy b = C*a otzrymujemy C + |
| + |
| − naturalne tylko dla C = 2 |
| | C | | 2 | |
odp. (a,b) = (x,2x); (2x,x), x ∊ R, x ≠ 0
22 lut 20:13
3Silnia&6: No to tak "na logike" wzizlem
ale dla liczb N:
Niech a,b > 2
0 < 1/a + 1/b < 2 − nie moze byc naturalbe
jezeli ab ≠ 1 to 1/a + 1/b = 1 + 1/b − wymierne, bo 1/b jest wymierne
rozwiazanie tylko dla ab= 1 => a=b=1
I dla calkowitych pewnie to samo, tylko trzeba na przypadki a,b > 0 , a,b < 0 , ab< 0
(chyba?
)
22 lut 20:18
3Silnia&6: poprawak a,b >2 to 0 < 1/a + 1/b < 1
22 lut 20:19
Pełcio: Hm, co powiesz na coś takiego?
zadanie 1
Niech NWD(a,b)=d, wtedy
a=a
1*d, b=b
1*d oraz NWD(a
1,b
1)=1
| a | | b | | 1 | | 2a12+2b12+a1b1 | |
| + |
| + |
| = |
| |
| b | | a | | 2 | | 2a1b1 | |
2|2a
12+2b
12+a
1b
1 ⇔ 2|a
1b
1
a
1|2a
12+2b
12+a
1b
1 ⇔ a
1|2 (1 lub 2)
b
1|2a
12+2b
12+a
1b
1 ⇔ b
1|2 (1 lub 2)
(2d,d) oraz (d,2d)
22 lut 20:25
3Silnia&6: spoko
22 lut 20:30
3Silnia&6: A moje jest niepelne, bo trzeba jeszcze jakos udowodnic, ze C + 1/C + 1/2 naturalne dla C = 1/2
v C =2, wiec twoje duzo lepsze
22 lut 20:37
Pełcio: To 2 też się tak da jakoś zrobić, bo te zadania właśnie były przy tym temacie. Zasadnicze
twierdzenie arytmetyki itp.
22 lut 20:45
Pełcio: 2.
NWD(a,b)=d
a=d*a
1, b=d*b
1, NWD(a
1,b
1)=1
| a2−b2 | | d2(a12−b12) | | a12−b12 | |
| = |
| = |
| |
| ab | | d2*a1*b1 | | a1*b1 | |
a
1|a
12−b
12
b
1|a
12−b
12
Może ktoś na to zerknąć i zobaczyć czy teraz da się coś z tym zrobić?
22 lut 23:12
Pełcio: Jedyne co przychodzi mi do głowy to:
a
1|b
12 czyli a
1|b
12*1 −−−> z zasadniczego twierdzenia arytmetyki ⇔ a
1|1 czyli
a
1=1
b
1|a
12 czyli b
1|a
12*1−−−> z zasadniczego tw. arytmetyki ⇔ b
1|1 czyli b
1=1
więc a=d i b=d
a=b
wydaje mi się, że jest blisko
22 lut 23:42