Udowodnij, że proste są prostopadłe. Robert: W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AA1 i BB1. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Udowodnij, że proste zwierające odcinki OC i A1B1 są prostopadłe. Nie mam pojęcia jak to zrobić

Rafal: Wskazówki: (1) na czworokącie ABA₁B₁ da się opisać okrąg (2) punkt O leży wewnątrz trójkąta ABC (3) kąt BOC jest dwukrotnie większy od kąta BAC (tw. o kącie wpisanym i środkowym) (4) trójkąt BOC jest równoramienny Niech X będzie punktem wspólnym OC i A₁B₁. Niech α oznacza miarę kąta BAC. Spróbuj uzależnić miary kątów trójkąta A₁XC od α.

Robert: Rozrysowałem sobie to wszystko, ale dalej nie mogę do tego dojść. Czy mogę prosić o dalszą pomoc? Mam też pytanie do wskazówki nr 1. Skąd wiemy, że na czworokącie ABA1B1 da się opisać okrąg?

Robert:

Rafal: (1) Kąty AB₁X i BA₁X mają tę samą miarę (90 stopni), więc kąty B₁AX i A₁BX też są

	BX		AX
równe, a z tych równości ΔAXB1∼ΔBXA1. Z powyższego podobieństwa		=		, a
	A1X		B1X

to wystarcza, by ΔBAX∼ΔA₁B₁X na mocy cechy bok−kąt−bok. Sumując kąty wewnętrzne przy przeciwległych wierzchołkach, dostajemy, że na czworokącie ABA₁B₁ można opisać okrąg.

Rafal: Aha, ten X z drugiego postu to nie ten sam X z pierwszego ∡BOC=2α (tw. o kącie wpisanym i środkowym)

	180−2α
BO=CO ⇒ ∡OCB=		=90−α (*)
	2

∡B₁A₁X=90−∡B₁A₁A=90−∡B₁BA=α (**) Łącząc zależności (*) i (**), otrzymujemy tezę.

Rafal: Ehh, znowu błąd. W zależności (**): ∡B₁A₁C=90−∡B₁A₁A=...

Robert: Dziękuję bardzo za pomoc, już rozumiem Mam tylko jeszcze jedno, głupie pytanie. 90−∡B1A1A=α Skąd wiemy, że tyle wychodzi?

Robert: Już widzę, jeszcze raz dziękuję

Rafal: Udowodniliśmy, że kąty B₁A₁A i B₁BA mają tę samą miarę, a trójkąt B₁BA jest prostokątny i jest w nim kąt o mierze α, więc.... Równość miar powyższych kątów można też pokazać, korzystając z równości kątów wpisanych w okrąg opartych na tym samym łuku, stąd moja pierwsza wskazówka, że na czworokącie ABA₁B₁ można opisać okrąg, co uzasadniliśmy. Właściwie chodziło mi o skorzystanie z faktu (który warto znać, bo jest przydatny w wielu zadaniach), że jeśli punkty P i Q leżą po tej samej stronie prostej XY oraz kąty XPY i XQY są równe, to punkty X, Y, P i Q leżą na jednym okręgu, co można pokazać w analogiczny sposób jak wyżej. W naszym przypadku X=A, Y=B, P=A₁ i Q=B₁ oraz ∡AA₁B=∡AB₁B, więc po skorzystaniu z przytoczonego twierdzenia natychmiast dostajemy, że przez punkty A, B, A₁, B₁ można poprowadzić okrąg. Teraz uruchamiamy twierdzenie o kątach wpisanych i otrzymujemy te same równości kątów, co wyżej.